《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

11. 若三角形的三条边长分别为6,8,10,则它的最长边上的高为4.8.

答案： $4.8$

12. 观察下面几组勾股数,并寻找规律:①3,4,5;②5,12,13;③7,24,25;请你写出符合以上规律的一组勾股数:9，40，41.

答案： $9$，$40$，$41$

13. 命题“同旁内角互补,两直线平行”的逆命题是两直线平行，同旁内角互补.

答案： 两直线平行，同旁内角互补

14. 若$△ABC$的三边长$a,b,c$满足$|a-5|+(b-12)^{2}+\sqrt {c-13}=0$,则$△ABC$的面积为30.

答案： $30$

15. 若一个三角形三条边的长度之比为$3:4:5$,且周长为$60cm$,则它的面积是____150$cm^{2}$.

答案： $150$

16. 如图,在$2×2$的正方形网格中有9个格点,已经取定点$A$和$B$,在余下的7个点中任取一点$C$,使$△ABC$为直角三角形的点$C$有4个.

答案： $4$

17. 若$△ABC$的三边长满足下列条件,判断$△ABC$是不是直角三角形.
(1)$BC=\frac {3}{4},AB=\frac {5}{4},AC=1$;是
(2)在$△ABC$中,$∠A,∠B,∠C$所对的边分别为$a,b,c$,且$a=n^{2}-1,b=2n,c=n^{2}+1.(n＞1)$是

答案： 【解析】：
(1) 要判断$\triangle ABC$是否为直角三角形，可根据勾股定理的逆定理，即判断两较短边的平方和是否等于最长边的平方。
已知$BC = \frac{3}{4}$，$AB=\frac{5}{4}$，$AC = 1$，比较三边大小$\frac{3}{4}＜1＜\frac{5}{4}$，所以$BC$与$AC$为两较短边。
计算$BC^{2}+AC^{2}$的值：
$BC^{2}=(\frac{3}{4})^{2}=\frac{9}{16}$，$AC^{2}=1^{2}=1=\frac{16}{16}$，则$BC^{2}+AC^{2}=\frac{9}{16}+\frac{16}{16}=\frac{25}{16}$。
$AB^{2}=(\frac{5}{4})^{2}=\frac{25}{16}$。
因为$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$，所以$\triangle ABC$是直角三角形，且$\angle C = 90^{\circ}$。
(2) 同样根据勾股定理的逆定理来判断，先比较$a=n^{2}-1$，$b = 2n$，$c=n^{2}+1(n\gt1)$的大小。
$c - a=(n^{2}+1)-(n^{2}-1)=n^{2}+1 - n^{2}+1 = 2＞0$，所以$c＞a$。
$c - b=(n^{2}+1)-2n=(n - 1)^{2}$，因为$n\gt1$，所以$(n - 1)^{2}＞0$，即$c＞b$，所以$c$为最长边。
计算$a^{2}+b^{2}$的值：
$a^{2}=(n^{2}-1)^{2}=n^{4}-2n^{2}+1$，$b^{2}=(2n)^{2}=4n^{2}$，则$a^{2}+b^{2}=n^{4}-2n^{2}+1 + 4n^{2}=n^{4}+2n^{2}+1$。
$c^{2}=(n^{2}+1)^{2}=n^{4}+2n^{2}+1$。
因为$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，所以$\triangle ABC$是直角三角形，且$\angle C = 90^{\circ}$。
【答案】：
(1)是；
(2)是