《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

22. 如图,在平面直角坐标系中,直线$AC:y=-x+2.5$与$x$轴交于点$C$,与$y$轴交于点$A$,直线$AB$与$x$轴交于点$B$,与$y$轴交于点$A$,已知点$B(-3,0)$.
(1)求直线$AB$的解析式;$y=\frac{5}{6}x + 2.5$
(2)直线$AD$过点$A$交线段$BC$于点$D$,把$\triangle ABC$的面积分为$1:2$两部分,求点$D$的坐标.$(-\frac{7}{6},0)$或$(\frac{2}{3},0)$

答案： 【解析】：
### $(1)$求直线$AB$的解析式
- 首先求点$A$的坐标：
已知直线$AC:y = -x + 2.5$与$y$轴交于点$A$，令$x = 0$，则$y=-0 + 2.5=2.5$，所以$A(0,2.5)$。
- 然后设直线$AB$的解析式为$y = kx + b$（$k\neq0$）：
把$A(0,2.5)$，$B(-3,0)$代入$y = kx + b$中，可得$\begin{cases}b = 2.5\\-3k + b = 0\end{cases}$。
将$b = 2.5$代入$-3k + b = 0$，即$-3k+2.5 = 0$，移项可得$3k = 2.5$，解得$k=\frac{2.5}{3}=\frac{5}{6}$。
所以直线$AB$的解析式为$y=\frac{5}{6}x + 2.5$。
### $(2)$求点$D$的坐标
- 先求点$C$的坐标：
已知直线$AC:y = -x + 2.5$与$x$轴交于点$C$，令$y = 0$，则$0=-x + 2.5$，解得$x = 2.5$，所以$C(2.5,0)$。
- 计算$BC$的长度：
由$B(-3,0)$，$C(2.5,0)$，根据两点间距离公式$\vert BC\vert=\vert2.5-(-3)\vert = 5.5$。
- 因为直线$AD$把$\triangle ABC$的面积分为$1:2$两部分：
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），$\triangle ABC$中$BC$边上的高就是$A$到$x$轴的距离，即$A$点纵坐标的绝对值$\vert y_{A}\vert = 2.5$。
由于$\triangle ABD$与$\triangle ACD$高相同（高为$A$到$x$轴的距离），所以$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{\frac{1}{2}\vert BD\vert\times2.5}{\frac{1}{2}\vert CD\vert\times2.5}=\frac{\vert BD\vert}{\vert CD\vert}$。
当$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{1}{2}$时：
$\frac{\vert BD\vert}{\vert CD\vert}=\frac{1}{2}$，则$\vert BD\vert=\frac{1}{3}\vert BC\vert$，因为$\vert BC\vert = 5.5=\frac{11}{2}$，所以$\vert BD\vert=\frac{11}{6}$。
设$D(x,0)$，$\vert BD\vert=x - (-3)=x + 3$（$x\gt - 3$），则$x+3=\frac{11}{6}$，解得$x=\frac{11}{6}-3=-\frac{7}{6}$，此时$D(-\frac{7}{6},0)$。
当$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{2}{1}$时：
$\frac{\vert BD\vert}{\vert CD\vert}=\frac{2}{1}$，则$\vert BD\vert=\frac{2}{3}\vert BC\vert$，$\vert BD\vert=\frac{2}{3}\times\frac{11}{2}=\frac{11}{3}$。
设$D(x,0)$，$\vert BD\vert=x - (-3)=x + 3$（$x\gt - 3$），则$x + 3=\frac{11}{3}$，解得$x=\frac{11}{3}-3=\frac{2}{3}$，此时$D(\frac{2}{3},0)$。
【答案】：
$(1)$直线$AB$的解析式为$\boldsymbol{y=\frac{5}{6}x + 2.5}$；
$(2)$点$D$的坐标为$\boldsymbol{(-\frac{7}{6},0)}$或$\boldsymbol{(\frac{2}{3},0)}$。