《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

17. 求出下列直角三角形中未知的边.
（1）8；（2）17；（3）$BC=$1，$AC=$$\sqrt{3}$

答案： 【解析】：
（1）根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），已知$BC = 6$，$AB = 10$，则$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8$。
（2）同样根据勾股定理，已知$BC = 8$，$AC = 15$，则$AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=\sqrt{8^{2}+15^{2}}=\sqrt{64 + 225}=\sqrt{289}=17$。
（3）在直角三角形中，$30^{\circ}$所对的直角边等于斜边的一半，已知斜边$AB = 2$，则$BC=\frac{1}{2}AB = 1$，再根据勾股定理$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{4 - 1}=\sqrt{3}$。
【答案】：
（1）$8$；（2）$17$；（3）$BC = 1$，$AC=\sqrt{3}$

18. 如图,Rt△ABC中,$∠C=90^{\circ }$,AD平分$∠CAB,DE⊥AB$于E.若$AC=6,BC=8,CD=3$.
(1)求DE的长;3
(2)求△ADB的面积.15

答案： 【解析】：
(1) 因为$AD$平分$\angle CAB$，$\angle C = 90^{\circ}$（即$DC\perp AC$），$DE\perp AB$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DE = CD$。已知$CD = 3$，则$DE = 3$。
(2) 先根据勾股定理$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$，已知$AC = 6$，$BC = 8$，可得$AB=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36 + 64}=\sqrt{100}=10$。
由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），对于$\triangle ADB$，以$AB$为底，$DE$为高，$AB = 10$，$DE = 3$，则$S_{\triangle ADB}=\frac{1}{2}\times AB\times DE=\frac{1}{2}\times10\times3 = 15$。
【答案】：
(1)$3$；
(2)$15$。

19. 如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点E,$∠BAC=90^{\circ },∠CED=45^{\circ },∠DCE=30^{\circ },DE=\sqrt {2},BE=2\sqrt {2}$.
(1)求CD的长;2
(2)求四边形ABCD的面积.$\frac{9 + 3\sqrt{3}}{2}$

答案： 【解析】：
(1) 过点$D$作$DH\perp AC$于点$H$。
因为$\angle CED = 45^{\circ}$，$DH\perp AC$，$DE=\sqrt{2}$，在$Rt\triangle DEH$中，$\sin\angle CED=\frac{DH}{DE}$，$\cos\angle CED=\frac{EH}{DE}$。
由于$\sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$DH = EH=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\sqrt{2}=1$。
又因为$\angle DCE = 30^{\circ}$，在$Rt\triangle DCH$中，$\tan\angle DCE=\frac{DH}{CH}$，$\sin\angle DCE=\frac{DH}{CD}$。
由$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}=\frac{DH}{CD}$，可得$CD = 2$。
(2) 在$Rt\triangle ABE$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle AEB=\angle CED = 45^{\circ}$，$BE = 2\sqrt{2}$。
根据$\sin\angle AEB=\frac{AB}{BE}$，$\cos\angle AEB=\frac{AE}{BE}$，且$\sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$AB = AE=\frac{\sqrt{2}}{2}\times2\sqrt{2}=2$。
由
(1)知$CH=\sqrt{CD^{2}-DH^{2}}=\sqrt{4 - 1}=\sqrt{3}$，所以$AC=AE + EH+CH=2 + 1+\sqrt{3}=3+\sqrt{3}$。
四边形$ABCD$的面积$S = S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}$。
$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}\times2\times(3 + \sqrt{3})=3+\sqrt{3}$，$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot DH=\frac{1}{2}\times(3 + \sqrt{3})\times1=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$。
所以$S=(3+\sqrt{3})+\frac{3+\sqrt{3}}{2}=\frac{6 + 2\sqrt{3}+3+\sqrt{3}}{2}=\frac{9 + 3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】：
(1) $CD$的长为$2$。
(2) 四边形$ABCD$的面积为$\frac{9 + 3\sqrt{3}}{2}$。