《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

17. 如图,在矩形 ABCD 中,点 E 是 BC 上一点,$AE=AD,DF⊥AE$,垂足为 F.求证:$DF=DC$.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴$AB=DC$，$AD// BC$，$\angle B=90{}^{\circ }$.
∵$AD// BC$，
∴$\angle DAF=\angle AEB$.
∵$DF\perp AE$，
∴$\angle AFD=90{}^{\circ }$.
在$\triangle ABE$和$\triangle DFA$中，
$\left\{\begin{array}{l} \angle AEB=\angle DAF\\ \angle B=\angle AFD\\ AE=AD\end{array}\right. $
∴$\triangle ABE≌\triangle DFA(AAS)$.
∴$AB=DF$.
∵$AB=DC$，
∴$DF=DC$.

答案： 【解析】：
1. 首先，根据矩形的性质：
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$AB = DC$，$AD// BC$，$\angle B = 90^{\circ}$，$AD = BC$。
由$AD// BC$，根据两直线平行，内错角相等，可得$\angle DAF=\angle AEB$。
2. 然后，证明三角形全等：
已知$DF\perp AE$，所以$\angle AFD = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle DFA$中：
$\left\{\begin{array}{l}\angle AEB=\angle DAF\\\angle B=\angle AFD = 90^{\circ}\\AE = AD\end{array}\right.$。
根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等）判定定理，可得$\triangle ABE\cong\triangle DFA$。
3. 最后，得出结论：
因为$\triangle ABE\cong\triangle DFA$，根据全等三角形的对应边相等，所以$AB = DF$。
又因为$AB = DC$，所以$DF = DC$。
【答案】：证明过程如上述解析，通过证明$\triangle ABE\cong\triangle DFA$，利用全等三角形对应边相等及矩形对边相等的性质得出$DF = DC$。

18. 如图,在▱ABCD中,$AE⊥BC,CF⊥AD$,E,F 分别为垂足.
求证:(1)$△ABE\cong △CDF$;
(2)四边形 AECF 是矩形.
(1) 证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$\angle B=\angle D$。
又因为$AE\perp BC$，$CF\perp AD$，所以$\angle AEB=\angle CFD = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}\angle B=\angle D\\\angle AEB=\angle CFD\\AB = CD\end{cases}$，根据AAS，可得$\triangle ABE\cong\triangle CDF$。
(2) 证明：因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，则$\angle DAF+\angle AEB = 180^{\circ}$。
因为$AE\perp BC$，所以$\angle AEB = 90^{\circ}$，那么$\angle EAF=90^{\circ}$。
又因为$AE\perp BC$，$CF\perp AD$，所以$\angle AEC=\angle AFC = 90^{\circ}$。
在四边形$AECF$中，$\angle EAF=\angle AEC=\angle AFC = 90^{\circ}$，根据矩形的判定定理有三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形$AECF$是矩形。

答案： 【解析】：
(1) 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB = CD$，$\angle B=\angle D$。
又因为$AE\perp BC$，$CF\perp AD$，所以$\angle AEB=\angle CFD = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CDF$中，$\begin{cases}\angle B=\angle D\\\angle AEB=\angle CFD\\AB = CD\end{cases}$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle ABE\cong\triangle CDF$。
(2) 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，则$\angle DAF+\angle AEB = 180^{\circ}$。
因为$AE\perp BC$，所以$\angle AEB = 90^{\circ}$，那么$\angle EAF=90^{\circ}$。
又因为$AE\perp BC$，$CF\perp AD$，所以$\angle AEC=\angle AFC = 90^{\circ}$。
在四边形$AECF$中，$\angle EAF=\angle AEC=\angle AFC = 90^{\circ}$，根据矩形的判定定理（有三个角是直角的四边形是矩形），可得四边形$AECF$是矩形。
【答案】：
(1) 证明见上述解析。
(2) 证明见上述解析。

19. 如图,在▱ABCD中,连接 BD,点 E 为线段 AD 的中点,连接 BE 并延长与 CD 的延长线交于点 F,连接 AF,$∠BDF=90^{\circ }$.
(1)求证:四边形 ABDF 是矩形;
(2)若$AD=5,DF=3$,求四边形 ABCF 的面积.18

答案： 【解析】：
(1) 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，即$AB// CF$。
所以$\angle BAE=\angle FDE$。
又因为点$E$为线段$AD$的中点，所以$AE = DE$。
且$\angle AEB=\angle DEF$，所以$\triangle ABE\cong\triangle DFE(ASA)$。
所以$AB = DF$。
又因为$AB// DF$，所以四边形$ABDF$是平行四边形。
因为$\angle BDF = 90^{\circ}$，所以平行四边形$ABDF$是矩形。
(2) 因为四边形$ABDF$是矩形，所以$AB = DF = 3$，$AF = BD$，$\angle AFD = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle ADF$中，$AD = 5$，$DF = 3$，根据勾股定理$AF=\sqrt{AD^{2}-DF^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$。
所以$BD = AF = 4$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$CD = AB = 3$。
所以$CF=CD + DF=3 + 3 = 6$。
所以四边形$ABCF$的面积$S=\dfrac{1}{2}(AB + CF)\times BD=\dfrac{1}{2}\times(3 + 6)\times4 = 18$。
【答案】：
(1) 证明过程如上述解析。
(2) $18$