《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

判断下列说法是否正确,正确的在括号内画“√”，错误的画“×”。
1. 命题“若$Rt△ABC$的三边长为$a,b,c$(c最大),则$a^{2}+b^{2}=c^{2}$”的逆命题成立. (√)
2. 命题“如果$△ABC$的三边长$a,b,c$满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,那么$△ABC$是直角三角形”的逆命题成立. (√)
3. 命题“在直角三角形中,有一个角是$30^{\circ }$,那么它所对的直角边是斜边的一半”的逆命题是真命题. (√)
4. “两直线平行,同位角相等”与“同位角相等,两直线平行”互为逆定理. (√)
5. 3,4,5是一组勾股数,则$3k,4k,5k$(k是正整数)也是一组勾股数. (√)
6. 如果三角形三边长的比是$1:1:\sqrt {2}$,那么这个三角形是直角三角形. (√)
7. 在$△ABC$中,$a=17,b=8,c=15$,因为$a^{2}+b^{2}≠c^{2}$,所以$△ABC$不是直角三角形. (×)
8. 若$a=n^{2}-1,b=2n,c=n^{2}+1$,则以$a,b,c$为边长的三角形是直角三角形. (√)
9. 若$a=m^{2}-n^{2},b=2mn,c=m^{2}+n^{2}$,则以$a,b,c$为边长的三角形是直角三角形. (√)
10. 若$△ABC$的三边长$a,b,c$满足$(a-b)(a^{2}+b^{2}-c^{2})=0$,则$△ABC$是直角三角形. (×)

答案： 1. √；2. √；3. √；4. √；5. √；6. √；7. ×；8. √；9. √；10. ×

1. 下列命题的逆命题不正确的是 (D)
A. 直角三角形的两锐角互余
B. 两直线平行,内错角相等
C. 等腰三角形的两个底角相等
D. 对顶角相等

答案： 1. 首先求各选项命题的逆命题：
选项A：
原命题“直角三角形的两锐角互余”，条件是“一个三角形是直角三角形”，结论是“它的两锐角互余”。
逆命题为“若一个三角形的两锐角互余，则这个三角形是直角三角形”。
证明：设三角形的三个内角为$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$，$\angle A+\angle B = 90^{\circ}$，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$，则$\angle C = 180^{\circ}-(\angle A + \angle B)=90^{\circ}$，所以这个三角形是直角三角形，逆命题正确。
选项B：
原命题“两直线平行，内错角相等”，条件是“两直线平行”，结论是“内错角相等”。
逆命题为“内错角相等，两直线平行”，这是平行线的判定定理，逆命题正确。
选项C：
原命题“等腰三角形的两个底角相等”，条件是“一个三角形是等腰三角形”，结论是“它的两个底角相等”。
逆命题为“若一个三角形的两个角相等，则这个三角形是等腰三角形”。
证明：设$\triangle ABC$中，$\angle B=\angle C$，过点$A$作$AD\perp BC$于点$D$，在$Rt\triangle ABD$和$Rt\triangle ACD$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ADB=\angle ADC = 90^{\circ}\\\angle B=\angle C\\AD = AD\end{array}\right.$，根据$AAS$（角角边）定理$\triangle ABD\cong\triangle ACD$，所以$AB = AC$，这个三角形是等腰三角形，逆命题正确。
选项D：
原命题“对顶角相等”，条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”。
逆命题为“若两个角相等，则这两个角是对顶角”。
反例：两直线平行，同位角相等，但同位角不是对顶角，所以逆命题不正确。
所以答案是D。

2. 下列命题与其逆命题都是真命题的是 (C)
A. 全等三角形的对应角相等
B. 和为$180^{\circ }$的两个角互为邻补角
C. 角平分线上的点到角的两边距离相等
D. 若$a^{2}＞b^{2}$,则$a＞b$

答案： 本题可先分别写出每个选项命题的逆命题，再判断原命题和逆命题的真假性。
选项A
- **原命题**：全等三角形的对应角相等。
根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，所以该命题是**真命题**。
- **逆命题**：对应角相等的三角形是全等三角形。
对应角相等的三角形只能说明它们的形状相同，但大小不一定相同，比如相似三角形对应角相等，但不一定全等，所以该逆命题是**假命题**。
选项B
- **原命题**：和为$180^{\circ}$的两个角互为邻补角。
邻补角不仅要求两个角的和为$180^{\circ}$，还要求这两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，所以和为$180^{\circ}$的两个角不一定是邻补角，该命题是**假命题**。
选项C
- **原命题**：角平分线上的点到角的两边距离相等。
这是角平分线的性质定理，所以该命题是**真命题**。
- **逆命题**：到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
这是角平分线的判定定理，所以该逆命题是**真命题**。
选项D
- **原命题**：若$a^{2}＞b^{2}$，则$a＞b$。
当$a = - 3$，$b = 2$时，$a^{2}=(-3)^{2}=9$，$b^{2}=2^{2}=4$，满足$a^{2}＞b^{2}$，但$-3\lt 2$，即$a\lt b$，所以该命题是**假命题**。
综上，答案是C。