《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

18. 计算:
(1)$\sqrt {48}×\frac {\sqrt {6}}{3}÷\sqrt {\frac {1}{2}}$;
(2)$\frac {\sqrt {3}}{2}÷\sqrt {\frac {1}{12}}×\sqrt {27}$;
(3)$\frac {2}{a}\sqrt {ab^{5}}\cdot (-\frac {3}{2}\sqrt {a^{3}b})÷(-\frac {1}{3}\sqrt {\frac {b}{a}})$.

答案： 【解析】：
(1)
$\begin{aligned}&\sqrt{48}\times\frac{\sqrt{6}}{3}\div\sqrt{\frac{1}{2}}\\=&\sqrt{16\times3}\times\frac{\sqrt{6}}{3}\div\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}\\=&4\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{6}}{3}\times\sqrt{2}\\=&\frac{4}{3}\sqrt{3\times6\times2}\\=&\frac{4}{3}\sqrt{36}\\=&\frac{4}{3}\times6\\=&8\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}&\frac{\sqrt{3}}{2}\div\sqrt{\frac{1}{12}}\times\sqrt{27}\\=&\frac{\sqrt{3}}{2}\div\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{12}}\times\sqrt{9\times3}\\=&\frac{\sqrt{3}}{2}\times\sqrt{12}\times3\sqrt{3}\\=&\frac{3}{2}\sqrt{3\times12\times3}\\=&\frac{3}{2}\sqrt{108}\\=&\frac{3}{2}\times6\sqrt{3}\\=&9\sqrt{3}\end{aligned}$
(3)
因为二次根式有意义，则$a\gt0,b\geq0$
$\begin{aligned}&\frac{2}{a}\sqrt{a{b}^{5}}\cdot(-\frac{3}{2}\sqrt{{a}^{3}b})\div(-\frac{1}{3}\sqrt{\frac{b}{a}})\\=&\left[\frac{2}{a}\times(-\frac{3}{2})\div(-\frac{1}{3})\right]\sqrt{a{b}^{5}\cdot{a}^{3}b\div\frac{b}{a}}\\=&\left(\frac{2}{a}\times\frac{3}{2}\times3\right)\sqrt{a{b}^{5}\cdot{a}^{3}b\times\frac{a}{b}}\\=&\frac{9}{a}\sqrt{a^{5}b^{5}}\\=&\frac{9}{a}\times a^{2}b^{2}\sqrt{ab}\\=&9ab^{2}\sqrt{ab}\end{aligned}$
【答案】：
(1)$8$；
(2)$9\sqrt{3}$；
(3)$9ab^{2}\sqrt{ab}$

19. 已知$\sqrt {\frac {x-6}{9-x}}=\frac {\sqrt {x-6}}{\sqrt {9-x}}$,且$x$为奇数,求$(1+x)\sqrt {\frac {x^{2}-5x+4}{x^{2}-1}}$的值.

答案： 【解析】：
本题可先根据二次根式有意义的条件求出$x$的取值范围，再结合$x$为奇数确定$x$的值，最后将$x$的值代入式子求值。
- **步骤一：根据二次根式有意义的条件确定$x$的取值范围**
要使$\sqrt {\frac {x - 6}{9 - x}}=\frac {\sqrt {x - 6}}{\sqrt {9 - x}}$成立，则需满足$\begin{cases}x - 6\geq0\\9 - x\gt0\end{cases}$。
解不等式$x - 6\geq0$，可得$x\geq6$。
解不等式$9 - x\gt0$，移项可得$-x\gt -9$，两边同时除以$-1$，不等号方向改变，得到$x\lt 9$。
综合两个不等式的解，可得$6\leq x\lt 9$。
- **步骤二：结合$x$为奇数确定$x$的值**
因为$x$为奇数且$6\leq x\lt 9$，所以$x = 7$。
- **步骤三：化简$(1 + x)\sqrt {\frac {x^2 - 5x + 4}{x^2 - 1}}$并代入$x = 7$求值**
对$\frac {x^2 - 5x + 4}{x^2 - 1}$进行因式分解：
$x^2 - 5x + 4=(x - 1)(x - 4)$，$x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)$，则$\frac {x^2 - 5x + 4}{x^2 - 1}=\frac{(x - 1)(x - 4)}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{x - 4}{x + 1}$（$x\neq1$）。
所以$(1 + x)\sqrt {\frac {x^2 - 5x + 4}{x^2 - 1}}=(1 + x)\sqrt{\frac{x - 4}{x + 1}}$。
将$x = 7$代入上式可得：
$(1 + 7)\sqrt{\frac{7 - 4}{7 + 1}}=8\sqrt{\frac{3}{8}}=8\times\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}=8\times\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=8\times\frac{\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=8\times\frac{\sqrt{6}}{4}=2\sqrt{6}$。
【答案】：$2\sqrt{6}$