《2025年暑假Happy假日八年级数学人教版》

22. 问题:如图,在$□ ABCD$中,$AB = 8$,$AD = 5$,$\angle DAB$,$\angle ABC$的平分线$AE$,$BF$分别与直线$CD$交于点$E$,$F$,求$EF$的长.
答案:$EF =$2.
探究:(1)把"问题"中的条件"$AB = 8$"去掉,其余条件不变.
①当点$E$与点$F$重合时,求$AB$的长;
答案:$AB=$10
②当点$E$与点$C$重合时,求$EF$的长.
答案:$EF=$2
(2)把"问题"中的条件"$AB = 8$,$AD = 5$"去掉,其余条件不变,当点$C$,$D$,$E$,$F$相邻两点间的距离相等时,求$\frac{AD}{AB}$的值.
答案:$\frac{AD}{AB}=$1或2

答案： 【解析】：
### $(1)$①当点$E$与点$F$重合时
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB// CD$，$AD = BC$，$AB = CD$。
根据平行线的性质和角平分线的定义可得$\angle AED=\angle BAE$，又因为$AE$平分$\angle DAB$，所以$\angle DAE=\angle BAE$，则$\angle AED=\angle DAE$，所以$AD = DE$。
同理可得$AD = BC = CF$。
当点$E$与点$F$重合时，$AB = CD=DE + CF=AD + AD = 2AD$，已知$AD = 5$，所以$AB = 10$。
### $(1)$②当点$E$与点$C$重合时
因为$AD = DE = 5$，$AB// CD$，$AE$平分$\angle DAB$，所以$\angle BAE=\angle AED$，$\angle DAE=\angle BAE$，则$\angle AED=\angle DAE$，$AD = DE = 5$。
又因为$BF$平分$\angle ABC$，$AB// CD$，所以$\angle ABF=\angle CFB$，$\angle ABF=\angle CBF$，则$\angle CFB=\angle CBF$，$BC = CF = 5$。
此时$EF=CF - CE$，$CE = DE = 5$，所以$EF = 5-(8 - 5)=2$。
### $(2)$当点$C$，$D$，$E$，$F$相邻两点间的距离相等时
分三种情况讨论：
**情况一：$DE = DC = CF$时**
由$AB// CD$，$AE$平分$\angle DAB$可得$\angle BAE=\angle AED$，$\angle DAE=\angle BAE$，所以$\angle AED=\angle DAE$，$AD = DE$。
同理$BC = CF$，因为$DE = DC = CF$，所以$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{DC}=1$。
**情况二：$DE = DF = DC$时**
设$DE = DF = DC=x$，由$AD = DE$，$BC = CF$（证明过程同前面），则$CF = AD$。
$AB = CD=x$，$AD = DE=x$，$CF = x$，$DF=x$，根据$CF=CD + DF$（此时$F$在$D$左侧），$AD = CF$，可得$AD = 2AB$，所以$\frac{AD}{AB}=2$。
**情况三：$DC = CE = EF$时**
设$DC = CE = EF = y$，由$AD = DE$，$BC = CF$（证明过程同前面），$AB = CD=y$，$AD = DE = 2y$，所以$\frac{AD}{AB}=2$。
【答案】：
$(1)$①$\boldsymbol{10}$；②$\boldsymbol{2}$ ；$(2)$$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{2}$