《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版》

4. 先化简,再求值:$x(\sqrt {6}-x)+(x+\sqrt {5})(x-\sqrt {5})$,其中$x= \sqrt {6}-\sqrt {2}$.

答案： 解: 原式$=\sqrt{6}x-x^{2}+x^{2}-5=\sqrt{6}x-5$. 当$x=\sqrt{6}-\sqrt{2}$时, 原式$=\sqrt{6}\times(\sqrt{6}-\sqrt{2})-5=6-2\sqrt{3}-5=1-2\sqrt{3}$.

5. 对于任意的正实数a和b,我们定义新运算:$a*b= \left\{\begin{array}{l} \sqrt {a}-\sqrt {b}(a≥b),\\ \sqrt {a}+\sqrt {b}(a\lt b).\end{array}\right. $例如：$27*12= \sqrt {27}-\sqrt {12}= \sqrt {3}$.求$(5*2)×(18*45)$的值.9

答案： 解: $\because5＞2,18＜45,\therefore(5*2)\times(18*45)=(\sqrt{5}-\sqrt{2})\times(\sqrt{18}+\sqrt{45})=(\sqrt{5}-\sqrt{2})\times(3\sqrt{2}+3\sqrt{5})=3\times(\sqrt{5}-\sqrt{2})\times(\sqrt{5}+\sqrt{2})=3\times(5-2)=9$.

6. 若$a+b= 2$,则称a与b是关于1的平衡数.
(1)3与-1是关于1的平衡数,$5-\sqrt {2}$与$-3+\sqrt{2}$是关于1的平衡数.
(2)若$(m+\sqrt {3})(1-\sqrt {3})= -5+3\sqrt {3}$,判断$m+\sqrt {3}与5-\sqrt {3}$是不是关于1的平衡数,并说明理由.
解: 不是. 理由如下: $m+\sqrt{3}=(-5+3\sqrt{3})÷(1-\sqrt{3})=(5-3\sqrt{3})÷(\sqrt{3}-1)=(5-3\sqrt{3})×\frac{\sqrt{3}+1}{2}=\frac{5\sqrt{3}+5-9-3\sqrt{3}}{2}=-2+\sqrt{3}.\therefore(m+\sqrt{3})+(5-\sqrt{3})=(-2+\sqrt{3})+(5-\sqrt{3})=3.\therefore m+\sqrt{3}$与$5-\sqrt{3}$不是关于$1$的平衡数.

答案： 解:
(1) $-1$ $-3+\sqrt{2}$
(2) 不是. 理由如下: $m+\sqrt{3}=(-5+3\sqrt{3})\div(1-\sqrt{3})=(5-3\sqrt{3})\div(\sqrt{3}-1)=(5-3\sqrt{3})\times\frac{\sqrt{3}+1}{2}=\frac{5\sqrt{3}+5-9-3\sqrt{3}}{2}=-2+\sqrt{3}.\therefore(m+\sqrt{3})+(5-\sqrt{3})=(-2+\sqrt{3})+(5-\sqrt{3})=3.\therefore m+\sqrt{3}$与$5-\sqrt{3}$不是关于$1$的平衡数.

7. 小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如$3+2\sqrt {2}= (1+\sqrt {2})^{2}$.善于思考的小明进行了以下探索:
设$a+b\sqrt {2}= (m+n\sqrt {2})^{2}$(其中a,b,m,n均为正整数),则有$a+b\sqrt {2}= m^{2}+2n^{2}+2\sqrt {2}mn$.
$\therefore a= m^{2}+2n^{2},b= 2mn$.
这样小明就找到了一种把形如$a+b\sqrt {2}$的式子化为平方式的方法.请仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当a,b,m,n均为正整数时,若$a+b\sqrt {3}= (m+n\sqrt {3})^{2}$,用含m,n的式子分别表示a,b,得$a=$$m^{2}+3n^{2}$,$b=$$2mn$.
(2)利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n填空:13+4$\sqrt {3}=$(1+2$\sqrt {3})^{2}$.
(3)若$a+4\sqrt {3}= (m+n\sqrt {3})^{2}$,且a,m,n均为正整数,求a的值.
解: 根据题意, 得$a=m^{2}+3n^{2},4=2mn.\therefore mn=2.\because m,n$为正整数,$\therefore m=2,n=1$或$m=1,n=2$. 当$m=2,n=1$时,$a=m^{2}+3n^{2}=2^{2}+3×1^{2}=4+3=7$; 当$m=1,n=2$时,$a=1^{2}+3×2^{2}=1+12=13$. $\therefore a$的值为$7$或$13$.

答案： 解:
(1) $m^{2}+3n^{2}$ $2mn$
(2) $13$ $4$ $1$ $2$ (答案不唯一)
(3) 根据题意, 得$a=m^{2}+3n^{2},4=2mn.\therefore mn=2.\because m,n$为正整数,$\therefore m=2,n=1$或$m=1,n=2$. 当$m=2,n=1$时,$a=m^{2}+3n^{2}=2^{2}+3\times1^{2}=4+3=7$; 当$m=1,n=2$时,$a=1^{2}+3\times2^{2}=1+12=13$. $\therefore a$的值为$7$或$13$.