《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版》

1. 下列函数中,是一次函数,但不是正比例函数的是 (D)
A. $ y = -\frac{1}{x} $
B. $ y = x^2 $
C. $ y = x $
D. $ y = \frac{x + 1}{2} $

答案： D

2. 下列曲线中,表示 $ y $ 是 $ x $ 的函数的是 (D)

答案： D

3. 别让眼泪成为人类的最后一滴水! 为加强节水意识,某市采用如下收费标准:不超过 $ 12m^3 $ 时,按 3 元 $ /m^3 $ 收费,超过 $ 12m^3 $ 时,超出的部分按 5 元 $ /m^3 $ 收费. 设某用户月用水量为 $ xm^3 $,水费为 $ y $ 元.
(1)当 $ x ＞ 12 $ 时,求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式.
(2)若该用户某月预算水费 40 元,实际水费 33 元,则该用户本月实际用水比预算少用了多少立方米?

答案： 解:
(1) 由题意, 得 $ y = 3 \times 12 + 5(x - 12) = 5x - 24 $, 即当 $ x ＞ 12 $ 时, $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为 $ y = 5x - 24 $.
(2) 当 $ x = 12 $ 时, 水费为 $ 12 \times 3 = 36 $ (元), 当 $ y = 40 $ 时, $ 40 = 5x - 24 $, 解得 $ x = 12.8 $. 当水费 33 元时, 用水量为 $ 33 \div 3 = 11(m^{3}) $, $ \therefore 12.8 - 11 = 1.8(m^{3}) $, 即该用户本月实际用水比预算少用了 $ 1.8m^{3} $.

4. 新考向 开放性问题 (2024·包头)在平面直角坐标系中,若一次函数的图象经过第一、二、三象限,请写出一个符合该条件的一次函数的表达式$ y = x + 1 $ (答案不唯一).

答案： $ y = x + 1 $ (答案不唯一)

5. 在平面直角坐标系中,若将一次函数 $ y = 2x + m $ 的图象向上平移 3 个单位长度后,得到一个正比例函数的图象,则 $ m $ 的值为-3.

答案： -3

6. 若一次函数 $ y = (m - 4)x + m^2 - 16 $ 的图象经过原点,则 $ m = $-4.

答案： -4

7. (2024·陕西)若点 $ A(-2,y_1) $ 和点 $ B(2,y_2) $ 在同一个正比例函数 $ y = kx(k ＜ 0) $ 的图象上,则 (A)
A. $ y_1 = -y_2 $
B. $ y_1 = y_2 $
C. $ y_2 ＞ 0 $
D. $ y_2 ＞ y_1 $

答案： A

8. 已知一次函数 $ y = -3x + 4 $,则下列说法中正确的是 (A)
A. 该函数的图象经过点 $ (1,1) $
B. 该函数的图象不经过第四象限
C. $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
D. 该函数的图象与 $ x $ 轴的交点坐标为 $ (-\frac{3}{4},0) $

答案： A

9. 若 $ kb ＜ 0,b - k ＞ 0 $,则函数 $ y = kx + b $ 与 $ y = bx + k $ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (D)

答案： D

10. 如图,$ P $ 是正比例函数 $ y = kx $ 图象上的一点,且点 $ P $ 在第二象限,过点 $ P $ 作 $ PA \perp x $ 轴于点 $ A $. 已知 $ OA = 1,PA = 2 $.
(1)求 $ k $ 的值.-2
(2)已知点 $ P $ 关于 $ y $ 轴的对称点为点 $ B $,点 $ B $ 关于 $ x $ 轴的对称点为点 $ C $.
①判断点 $ C $ 是否在该正比例函数的图象上,并说明理由.是，理由：点$P(-1,2)$关于$y$轴的对称点$B$为$(1,2)$，点$B$关于$x$轴的对称点$C$为$(1,-2)$，当$x=1$时，$y=-2×1=-2$，所以点$C$在该正比例函数图象上
②计算 $ \triangle APC $ 的面积.2

答案： 解:
(1) $ \because OA = 1 $, $ PA = 2 $, 且点 $ P $ 在第二象限, $ \therefore $ 点 $ P $ 的坐标为 $ (-1, 2) $. $ \because P $ 是正比例函数 $ y = kx $ 图象上的一点, $ \therefore 2 = k \cdot (-1) $, 解得 $ k = -2 $.
(2) ① 点 $ C $ 在正比例函数 $ y = -2x $ 的图象上. 理由如下: $ \because $ 点 $ P(-1, 2) $ 关于 $ y $ 轴的对称点为点 $ B $, $ \therefore $ 点 $ B $ 的坐标为 $ (1, 2) $. 又 $ \because $ 点 $ B(1, 2) $ 关于 $ x $ 轴的对称点为点 $ C $, $ \therefore $ 点 $ C $ 的坐标为 $ (1, -2) $. 当 $ x = 1 $ 时, $ y = -2 \times 1 = -2 $. $ \therefore $ 点 $ C $ 在正比例函数 $ y = -2x $ 的图象上. ② 连接 $ AC $. $ S_{\triangle APC} = S_{\triangle AOP} + S_{\triangle AOC} = \frac{1}{2}OA \cdot BC = \frac{1}{2} \times 1 \times |2 - (-2)| = 2 $.