《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版》

5. 新考向 真实情境(2024·长春)区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点,根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度.小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶,其间经过一段长度为 20 千米的区间测速路段.从该路段起点开始,他先匀速行驶 $ \frac{1}{12} $ 小时,再立即减速以另一速度匀速行驶(减速时间忽略不计).当他到达该路段终点时,测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为 100 千米/时.汽车在区间测速路段行驶的路程 y(千米)与在此路段行驶的时间 x(时)之间的函数图象如图所示.

(1)a 的值为$\frac{1}{5}$.
(2)当 $ \frac{1}{12} \leqslant x \leqslant a $ 时,求 y 与 x 之间的关系式.
解：设当 $ \frac{1}{12} \leq x \leq \frac{1}{5} $ 时，$ y $ 与 $ x $ 之间的关系式为 $ y = kx + b (k \neq 0) $，则 $ \begin{cases} \frac{1}{12}k + b = 9.5, \\ \frac{1}{5}k + b = 20, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = 90, \\ b = 2. \end{cases} $ $ \therefore y = 90x + 2 (\frac{1}{12} \leq x \leq \frac{1}{5}) $。
(3)通过计算说明在此区间测速路段内,该辆汽车减速前是否超速.(此路段要求小型汽车行驶速度不得超过 120 千米/时)
解：当 $ x = \frac{1}{12} $ 时，$ y = 90 × \frac{1}{12} + 2 = 9.5 $，$ \therefore $ 减速前的速度为 $ 9.5 ÷ \frac{1}{12} = 114 $（千米/时）。$ \because 114 ＜ 120 $，$ \therefore $ 这辆汽车减速前没有超速。

答案： 解：
(1) $ \frac{1}{5} $
(2) 设当 $ \frac{1}{12} \leq x \leq \frac{1}{5} $ 时，$ y $ 与 $ x $ 之间的关系式为 $ y = kx + b (k \neq 0) $，则 $ \begin{cases} \frac{1}{6}k + b = 17, \\ \frac{1}{5}k + b = 20, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = 90, \\ b = 2. \end{cases} $ $ \therefore y = 90x + 2 (\frac{1}{12} \leq x \leq \frac{1}{5}) $。
(3) 当 $ x = \frac{1}{12} $ 时，$ y = 90 \times \frac{1}{12} + 2 = 9.5 $，$ \therefore $ 减速前的速度为 $ 9.5 \div \frac{1}{12} = 114 $（千米/时）。$ \because 114 ＜ 120 $，$ \therefore $ 这辆汽车减速前没有超速。

6. 全面推进乡村振兴,加快农业农村现代化,某合作社为尽快打开市场,对本地新产品进行线上和线下销售相结合的模式,具体费用标准如下:
线下销售模式:标价 5 元/千克,八折出售;
线上销售模式:标价 5 元/千克,九折出售,超过 6 千克时,超出部分每千克再让利 1.5 元.
设购买这种新产品 x 千克,所需费用为 y 元,y 与 x 之间的函数关系如图所示.根据以上信息回答下列问题:
(1)分别求出两种销售模式对应的 y 与 x 之间的关系式.
线下销售：y=4x；线上销售：当 0≤x≤6 时，y=4.5x；当 x＞6 时，y=3x+9.
(2)请说明图中点 C 坐标的实际意义.
当购买9千克该产品时，线上、线下都花费36元.
(3)若想购买这种新产品 10 千克,请问选择哪种模式购买最省钱? 不需说明理由,请直接写出结果.
线上购买最省钱.

答案： 解：
(1) 线下销售：$ y = 5 \times 0.8x = 4x $；线上销售：当 $ 0 \leq x \leq 6 $ 时，$ y = 5 \times 0.9x = 4.5x $；当 $ x ＞ 6 $ 时，$ y = 5 \times 0.9 \times 6 + (x - 6) \times (5 \times 0.9 - 1.5) = 27 + 3(x - 6) = 3x + 9 $，$ \therefore y = \begin{cases} 4.5x(0 \leq x \leq 6), \\ 3x + 9(x ＞ 6). \end{cases} $ $ \therefore $ 线下销售 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式为 $ y = 4x $，线上销售 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式为 $ y = \begin{cases} 4.5x(0 \leq x \leq 6), \\ 3x + 9(x ＞ 6). \end{cases} $
(2) 联立 $ \begin{cases} y = 4x, \\ y = 3x + 9, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 9, \\ y = 36. \end{cases} $ $ \therefore C(9, 36) $。$ \therefore $ 图中点 $ C $ 坐标的实际意义为当购买 9 千克该产品时，线上、线下都花费 36 元。
(3) 购买这种新产品 10 千克，线上购买最省钱。