《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版》

1. 某水果店推出的一款水果拼盘套餐受到了广大消费者的喜爱,每天的销售量 y(盒)与销售单价 x(元)之间存在一次函数关系(如下表所示).已知该水果拼盘套餐的成本为 30 元/盒.

(1)求出 y 与 x 之间的关系式.y=-2x+300
(2)当销售单价为 65 元时,求当天的销售利润.(销售利润= 销售额一成本)5950

答案： 解：
(1) 设 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系式为 $ y = kx + b $。由题意，得 $ \begin{cases} 40k + b = 220, \\ 50k + b = 200, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = -2, \\ b = 300. \end{cases} $ $ \therefore y $ 与 $ x $ 之间的关系式为 $ y = -2x + 300 $。
(2) 由
(1)可知，当 $ x = 65 $ 时，$ y = -2 \times 65 + 300 = 170 $，$ \therefore 65 \times 170 - 30 \times 170 = 5950 $（元）。答：当销售单价为 65 元时，当天的销售利润为 5950 元。

2. 某公司开发出一款新的节能产品,该产品的成本价为 6 元/件.该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月(30 天)的试销售,售价为 8 元/件.工作人员对销售情况进行了跟踪记录,并将记录情况绘成图象(如图所示),图中的折线 ODE 表示日销售量 y(件)与销售时间 x(天)之间的函数关系.已知线段 DE 表示的函数关系中时间每增加 1 天,日销售量减少 5 件.
(1)第 17 天的日销售量是340件,日销售利润是680元.
(2)求试销售期间日销售利润的最大值.

解：根据图象易得，直线 $ OD $ 的表达式为 $ y = 20x $，直线 $ DE $ 的表达式为 $ y = -5x + 450 $。联立 $ \begin{cases} y = 20x, \\ y = -5x + 450, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 18, \\ y = 360. \end{cases} $ $ \therefore $ 折线 $ ODE $ 的最高点 $ D $ 的坐标为 $ (18, 360) $。$ 360 × (8 - 6) = 720 $（元），$ \therefore $ 当 $ x = 18 $ 时，日销售利润最大，最大利润为 720 元。

答案： 解：
(1) 340 680
(2) 根据图象易得，直线 $ OD $ 的表达式为 $ y = 20x $，直线 $ DE $ 的表达式为 $ y = -5x + 450 $。联立 $ \begin{cases} y = 20x, \\ y = -5x + 450, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = 18, \\ y = 360. \end{cases} $ $ \therefore $ 折线 $ ODE $ 的最高点 $ D $ 的坐标为 $ (18, 360) $。$ 360 \times (8 - 6) = 720 $（元），$ \therefore $ 当 $ x = 18 $ 时，日销售利润最大，最大利润为 720 元。

3. (2023·吉林)甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道,两组每天挖掘长度均保持不变.合作一段时间后,乙组因维修设备而停工,甲组单独完成了剩下的任务.甲、乙两组挖掘的长度之和 y(m)与甲组挖掘时间 x(天)之间的关系如图所示.
(1)甲组比乙组多挖掘了30天.
(2)求乙组停工后,y 关于 x 的函数表达式,并写出自变量 x 的取值范围.
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时,直接写出乙组已停工的天数.10 天

(2)设乙组停工后，$ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为 $ y = kx + b $。$ \because $ 点 $ (30, 210) $，$ (60, 300) $ 在图象上，$ \therefore \begin{cases} 30k + b = 210, \\ 60k + b = 300, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = 3, \\ b = 120. \end{cases} $ $ \therefore y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为 $ y = 3x + 120 (30 \leq x \leq 60) $。

答案： 解：
(1) 30
(2) 设乙组停工后，$ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为 $ y = kx + b $。$ \because $ 点 $ (30, 210) $，$ (60, 300) $ 在图象上，$ \therefore \begin{cases} 30k + b = 210, \\ 60k + b = 300, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = 3, \\ b = 120. \end{cases} $ $ \therefore y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为 $ y = 3x + 120 (30 \leq x \leq 60) $。
(3) 10 天。

4. 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠,所挖河渠的长度 y(m)与挖掘时间 x(h)之间的函数关系如图所示.请根据图象提供的信息,解答下列问题:
(1)甲队在开挖后 6 h 内,每小时挖10m.
(2)当 $ 2 \leqslant x \leqslant 6 $ 时,求 $ y_{乙} $ 与 x 之间的函数关系式.
(3)直接写出开挖后几小时,甲、乙两队挖的河渠的长度相差 5 m.

答案： 解：
(1) 10
(2) 设当 $ 2 \leq x \leq 6 $ 时，$ y_{乙} $ 与 $ x $ 之间的关系式为 $ y_{乙} = kx + b (k \neq 0) $。$ \because $ 函数图象过点 $ (2, 30) $，$ (6, 50) $，$ \therefore \begin{cases} 2k + b = 30, \\ 6k + b = 50, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} k = 5, \\ b = 20. \end{cases} $ $ \therefore $ 当 $ 2 \leq x \leq 6 $ 时，$ y_{乙} $ 与 $ x $ 之间的关系式为 $ y_{乙} = 5x + 20 $。
(3) 开挖后 1 h 或 3 h 或 5 h，甲、乙两队挖的河渠的长度相差 5 m。