《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版》

10. A|人大附中校本经典题 如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,F是CD上一点,且$CF= \frac {1}{4}CD$,试说明:$∠AEF= 90^{\circ }$.

解:∵四边形 ABCD 为正方形,$\therefore AB = BC = CD = DA,\angle B=\angle C=\angle D = 90^{\circ}$. 设 $AB = BC = CD = DA =$4a.$\because E$ 是 BC 的中点,且 $CF=\frac{1}{4}CD,\therefore BE = EC =$2a,$CF =$a.$\therefore DF = 4a - a =$3a. 在 $Rt\triangle ABE$ 中,由勾股定理,得 $AE^{2}=AB^{2}+BE^{2}=$20a². 同理可得,$EF^{2}=EC^{2}+FC^{2}=$5a²,$AF^{2}=AD^{2}+DF^{2}=$25a².$\because AE^{2}+EF^{2}=AF^{2},\therefore \triangle AEF$ 为直角三角形.$\therefore \angle AEF = 90^{\circ}$.

答案： 解:
∵四边形 ABCD 为正方形,$\therefore AB = BC = CD = DA,\angle B=\angle C=\angle D = 90^{\circ}$. 设 $AB = BC = CD = DA = 4a.\because E$ 是 BC 的中点,且 $CF=\frac{1}{4}CD,\therefore BE = EC = 2a,CF = a.\therefore DF = 4a - a = 3a$. 在 $Rt\triangle ABE$ 中,由勾股定理,得 $AE^{2}=AB^{2}+BE^{2}=20a^{2}$. 同理可得,$EF^{2}=EC^{2}+FC^{2}=5a^{2},AF^{2}=AD^{2}+DF^{2}=25a^{2}.\because AE^{2}+EF^{2}=AF^{2},\therefore \triangle AEF$ 为直角三角形.$\therefore \angle AEF = 90^{\circ}$.

11. 如图,学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD,测得$AB= 9m,BC= 12m,CD= 8m,AD= 17m$,且$∠ABC= 90^{\circ }$,则这块菜地的面积是 (B)

A. $48m^{2}$
B. $114m^{2}$
C. $122m^{2}$
D. $158m^{2}$

答案： B

12. 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若$AD= 2,BC= 4$,则$AB^{2}+CD^{2}= $20.

答案： 20

13. (教材P21新增复习题T8变式)《九章算术》卷九“勾股”中记载:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何?”大意:如图,水池底面的宽$AB= 1$丈,芦苇OC生长在AB的中点O处,高出水面的部分$CD= 1$尺.将芦苇向池岸牵引,尖端达到岸边时恰好与水面平齐,即$OC= OE$,求水池的深度和芦苇的长度.
(1丈= 10尺).
(1)求水池的深度OD.12尺
(2)我国古代数学家刘徽在《九章算术》作注解时,更进一步给出了这类问题的一般解法.他的解法用现代符号语言可以表示为:若已知水池宽$AB= 2a$,芦苇高出水面的部分$CD= n(n＜a)$,则水池的深度$OD(OD= b)可以通过公式b= \frac {a^{2}-n^{2}}{2n}$计算得到.请说明刘徽解法的正确性.

答案： 解:
(1)设芦苇的长为 x 尺,则 $OC = OE = x$ 尺,$OD=(x - 1)$ 尺,$DE = 5$ 尺. 在 $Rt\triangle ODE$ 中,$\angle ODE = 90^{\circ}$,由勾股定理,得 $DE^{2}+OD^{2}=OE^{2}.\therefore 5^{2}+(x - 1)^{2}=x^{2}$,解得 $x = 13.\therefore OD = 13 - 1 = 12$(尺). 答:水池的深度 OD 为 12 尺.
(2)$\because OD = b,CD = n,AB = 2a,\therefore OC = OE = b + n,DE = a$. 在 $Rt\triangle ODE$ 中,$\angle ODE = 90^{\circ}$,由勾股定理,得 $DE^{2}+OD^{2}=OE^{2}.\therefore a^{2}+b^{2}=(b + n)^{2}$,解得 $b=\frac{a^{2}-n^{2}}{2n}$.

14. 新考向 数学文化 A|石家庄外国语校本经典题 《九章算术》是我国古代的数学代表作,书中记载:今有开门去阃(读kǔn,门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何? 题目大意:如图1、图2(图2为图1的平面示意图),从点O处推开双门,双门间隙CD的长度为2寸,点C和点D到门槛AB的距离都为1尺(1尺= 10寸),则AB的长是 (B)

A. 104寸
B. 101寸
C. 52寸
D. 50.5寸

答案： B