《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版》

【例1】如图,在△ABC中,∠C= 90°,AC= 10,BC= 6,EF为AB的垂直平分线,求AE的长。
解题思路：连接BE,设AE= x,则BE= x,CE= 10 - x。
根据勾股定理,得$CE^2+BC^2= BE^2,$
可列方程为$(10 - x)^2 + 6^2 = x^2$。
解得x= $\frac{34}{5}$。

答案： $10 - x$ $(10 - x)^2 + 6^2 = x^2$ $\frac{34}{5}$

1. (2023·随州)如图,在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 8,BC= 6,D为AC上一点。若BD是∠ABC的平分线,则AD= 5。

答案： 5

【例2】如图,在△ABC中,AB= 15,BC= 14,AC= 13,AD⊥BC,求BD的长。
解题思路：设BD= x,则CD= 14 - x。
根据勾股定理,得$AD^2= AB^2-BD^2= AC^2-CD^2,$可列方程为$15^2 - x^2 = 13^2 - (14 - x)^2$。
解得x= 9。

答案： $14 - x$ $15^2 - x^2 = 13^2 - (14 - x)^2$ $9$

2. 如图,在△ABC中,BC= 4,AC= 13,AB= 15,求△ABC的面积。
解：过点 $A$ 作 $AD \perp BC$ 于点 $D$。设 $CD = x$，则 $BD = 4 + x$。$\because AC^2 - CD^2 = AB^2 - BD^2$，$\therefore 13^2 - x^2 = 15^2 - (4 + x)^2$，解得 $x = $5。$\therefore AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - 5^2 = $144。$\therefore AD = $12。$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot AD = $24。

答案： 解：过点 $A$ 作 $AD \perp BC$ 于点 $D$。设 $CD = x$，则 $BD = 4 + x$。$\because AC^2 - CD^2 = AB^2 - BD^2$，$\therefore 13^2 - x^2 = 15^2 - (4 + x)^2$，解得 $x = 5$。$\therefore AD^2 = AC^2 - CD^2 = 13^2 - 5^2 = 144$。$\therefore AD = 12$。$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC \cdot AD = 24$。

3. 如图,在△ABC中,∠ACB= 90°,CD⊥AB于点D,BD= 2,CD= 4,求AD的长。

AD的长为8。

答案： 解：设 $AD = x$。在 $Rt\triangle ACD$ 中，$AC^2 = AD^2 + CD^2 = x^2 + 4^2$，在 $Rt\triangle BCD$ 中，$BC^2 = CD^2 + BD^2 = 4^2 + 2^2$，在 $Rt\triangle ABC$ 中，$AC^2 + BC^2 = AB^2$，即 $x^2 + 4^2 + 4^2 + 2^2 = (x + 2)^2$，解得 $x = 8$。$\therefore AD = 8$。