《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版》

11. 如图,一次函数 $ y = kx + b $ 的图象经过 $ A,B $ 两点,则关于 $ x $ 的方程 $ kx + b = 0 $ 的解为______$ x = -2 $.

答案： $ x = -2 $

12. 若一次函数 $ y = kx - b $($ k $ 为常数,且 $ k \neq 0 $)的图象经过点 $ (-3,0) $,则关于 $ x $ 的方程 $ k(x - 7) - b = 0 $ 的解为 (C)
A. $ x = -5 $
B. $ x = -3 $
C. $ x = 4 $
D. $ x = 5 $

答案： C

13. 一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量 $ y $(升)与行驶路程 $ x $(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.
(1)求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数表达式(不必写出 $ x $ 的取值范围).
解:设 $ y = kx + b $, 根据题意, 得 $ 60 = b $, ① $ 45 = 150k + b $, ② 将①代入②, 得 $ k = -0.1 $. $ \therefore y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为 $ y $=$-0.1x + 60$.
(2)已知当油箱中的剩余油量为 8 升时,该汽车会开始提示加油. 在此次行驶过程中,行驶了 450 千米时,司机发现离前方最近的加油站有 75 千米的路程. 在开往该加油站的途中,当汽车开始提示加油时,离加油站的路程是多少千米?
解:当 $ y = 8 $ 时, $ -0.1x + 60 = 8 $, 解得 $ x = 520 $. $ \therefore $ 行驶 520 千米时, 油箱中的剩余油量为 8 升. $ \because 75 - (520 - 450) = $5(千米), $ \therefore $ 在开往该加油站的途中, 当汽车开始提示加油时, 离加油站的路程是 5 千米.

答案： 解:
(1) 设 $ y = kx + b $, 根据题意, 得 $ 60 = b $, ① $ 45 = 150k + b $, ② 将①代入②, 得 $ k = -0.1 $. $ \therefore y $ 关于 $ x $ 的函数表达式为 $ y = -0.1x + 60 $.
(2) 当 $ y = 8 $ 时, $ -0.1x + 60 = 8 $, 解得 $ x = 520 $. $ \therefore $ 行驶 520 千米时, 油箱中的剩余油量为 8 升. $ \because 75 - (520 - 450) = 5 $ (千米), $ \therefore $ 在开往该加油站的途中, 当汽车开始提示加油时, 离加油站的路程是 5 千米.

14. A|北师大附属实验校本经典题 图 1 是某公共汽车线路收支差额 $ y $(票价总收入减运营成本)与乘客量 $ x $ 的函数图象. 目前这条线路亏损,为了扭亏,有关部门举行提高票价的听证会.
乘客代表认为:公交公司应节约能源,改善管理,降低运营成本,从而实现扭亏.
公交公司认为:运营成本难以下降,公司已尽力,提高票价才能扭亏.
根据这两种意见,可以把图 1 分别改画成图 2 和图 3.

(1)说明图 1 中点 $ A $ 和点 $ B $ 的实际意义.
(2)若图 1 改成图 3 后的射线交 $ y $ 轴于点 $ C(0,-0.5) $,交 $ x $ 轴于点 $ D $,射线 $ CD $ 可以看作是由射线 $ AB $ 平移得到,请求出射线 $ CD $ 的表达式,并写出相对应 $ x $ 的取值范围.
(3)你认为图 2 和图 3 两个图象中,反映乘客意见的是______,反映公交公司意见的是______.
解: (1) 点 $ A $ 表示这条线路的运营成本为 1 万元; 点 $ B $ 表示乘客量达到 1.5 万人次时, 这条线路的收支达到平衡. (2) 设直线 $ AB $ 的表达式为 $ y = kx - 1 $, 把 $ (1.5, 0) $ 代入, 得 $ 1.5k - 1 = 0 $, 解得 $ k = \frac{2}{3} $. $ \therefore $ 直线 $ AB $ 的表达式为 $ y = \frac{2}{3}x - 1 $. $ \because $ 射线 $ CD $ 可以看作是由射线 $ AB $ 平移得到, 点 $ C(0, -0.5) $, $ \therefore $ 射线 $ CD $ 的表达式为 $ y = \frac{2}{3}x - 0.5(x \geq 0) $. (3) 图 3 图 2

答案： 解:
(1) 点 $ A $ 表示这条线路的运营成本为 1 万元; 点 $ B $ 表示乘客量达到 1.5 万人次时, 这条线路的收支达到平衡.
(2) 设直线 $ AB $ 的表达式为 $ y = kx - 1 $, 把 $ (1.5, 0) $ 代入, 得 $ 1.5k - 1 = 0 $, 解得 $ k = \frac{2}{3} $. $ \therefore $ 直线 $ AB $ 的表达式为 $ y = \frac{2}{3}x - 1 $. $ \because $ 射线 $ CD $ 可以看作是由射线 $ AB $ 平移得到, 点 $ C(0, -0.5) $, $ \therefore $ 射线 $ CD $ 的表达式为 $ y = \frac{2}{3}x - 0.5(x \geq 0) $.
(3) 图 3 图 2