《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版》

1. 用指定的方法解方程组：
(1) $\begin{cases} 3x - y = -4, ① \\ x - 2y = -3. ② \end{cases}$(代入消元法)
解：由①，得$ y = 3x + 4 $。③ 将③代入②，得$ x - 2(3x + 4) = -3 $。解得$ x = -1 $。将$ x = -1 $代入③，得$ y = 1 $。∴原方程组的解为$ \begin{cases} x = -1, \\ y = 1. \end{cases} $
(2) $\begin{cases} 3x + y = 6, ① \\ 7x - 2y = 1. ② \end{cases}$(加减消元法)
解：①×2 + ②，得$ 13x = 13 $。解得$ x = 1 $。将$ x = 1 $代入①，得$ 3 + y = 6 $。解得$ y = 3 $。∴原方程组的解为$ \begin{cases} x = 1, \\ y = 3. \end{cases} $

答案： 解：
(1)由①，得 $ y = 3x + 4 $。③ 将③代入②，得 $ x - 2(3x + 4) = -3 $。解得 $ x = -1 $。将 $ x = -1 $ 代入③，得 $ y = 1 $。
∴原方程组的解为 $ \begin{cases} x = -1, \\ y = 1. \end{cases} $
(2)①×2 + ②，得 $ 13x = 13 $。解得 $ x = 1 $。将 $ x = 1 $ 代入①，得 $ 3 + y = 6 $。解得 $ y = 3 $。
∴原方程组的解为 $ \begin{cases} x = 1, \\ y = 3. \end{cases} $

2. 用合适的方法解方程组：
(1) $\begin{cases} 4x + 3y = 1, ① \\ 3x - 4y = -18. ② \end{cases}$
解：①×4 + ②×3，得 $ 25x = -50 $。解得 $ x = $-2。将 $ x = $-2代入①，得 $ 4×(-2) + 3y = 1 $。解得 $ y = $3。∴原方程组的解是 $ \begin{cases} x = -2, \\ y = 3. \end{cases} $
(2) $\begin{cases} 3x - 4(x - 2y) = 5, ① \\ x - 2y = 1. ② \end{cases}$
解：将②代入①，得 $ 3x - 4 = 5 $。解得 $ x = $3。将 $ x = $3代入②，得 $ 3 - 2y = 1 $。解得 $ y = $1。∴原方程组的解为 $ \begin{cases} x = 3, \\ y = 1. \end{cases} $
(3) $\begin{cases} 0.4x - y = 2, ① \\ 0.2x - 0.3y = 5. ② \end{cases}$
解：① - ②×2，得 $ -0.4y = -8 $。解得 $ y = $20。将 $ y = $20代入①，得 $ 0.4x - 20 = 2 $。解得 $ x = $55。∴原方程组的解为 $ \begin{cases} x = 55, \\ y = 20. \end{cases} $
(4) $\begin{cases} 3(x - 1) = y + 5, ① \\ \frac{y - 1}{3} = \frac{x}{5} + 1. ② \end{cases}$
解：原方程组变形为 $ \begin{cases} 3x - y = 8, ③ \\ 3x - 5y = -20. ④ \end{cases} $ ③ - ④，得 $ 4y = 28 $。解得 $ y = $7。将 $ y = $7代入③，得 $ 3x - 7 = 8 $。解得 $ x = $5。∴原方程组的解为 $ \begin{cases} x = 5, \\ y = 7. \end{cases} $

答案： 解：
(1)①×4 + ②×3，得 $ 25x = -50 $。解得 $ x = -2 $。将 $ x = -2 $ 代入①，得 $ 4×(-2) + 3y = 1 $。解得 $ y = 3 $。
∴原方程组的解是 $ \begin{cases} x = -2, \\ y = 1. \end{cases} $
(2)将②代入①，得 $ 3x - 4 = 5 $。解得 $ x = 3 $。将 $ x = 3 $ 代入②，得 $ 3 - 2y = 1 $。解得 $ y = 1 $。
∴原方程组的解为 $ \begin{cases} x = 3, \\ y = 1. \end{cases} $
(3)① - ②×2，得 $ -0.4y = -8 $。解得 $ y = 20 $。将 $ y = 20 $ 代入①，得 $ 0.4x - 20 = 2 $。解得 $ x = 55 $。
∴原方程组的解为 $ \begin{cases} x = 55, \\ y = 20. \end{cases} $
(4)原方程组变形为 $ \begin{cases} 3x - y = 8, ③ \\ 3x - 5y = -20. ④ \end{cases} $ ③ - ④，得 $ 4y = 28 $。解得 $ y = 7 $。将 $ y = 7 $ 代入③，得 $ 3x - 7 = 8 $。解得 $ x = 5 $。
∴原方程组的解为 $ \begin{cases} x = 5, \\ y = 7. \end{cases} $

3. 人大附中校本经典题 请阅读下列材料,解答问题：
解方程组 $\begin{cases} 5(x + y) - 3(x - y) = 2, \\ 2(x + y) + 4(x - y) = 6, \end{cases}$ 若设 $x + y = m$,$x - y = n$,则原方程组变形为 $\begin{cases} 5m - 3n = 2, \\ 2m + 4n = 6, \end{cases}$ 用加减消元法解得 $\begin{cases} m = 1, \\ n = 1, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} x + y = 1, \\ x - y = 1. \end{cases}$ 再解这个方程组得 $\begin{cases} x = 1, \\ y = 0. \end{cases}$
在上述解方程组的过程中,把某个式子看成一个整体,用一个字母去代替它,我们把这种解方程组的方法叫作“换元法”。
请用上述方法解方程组：
$\begin{cases} \frac{x + y}{3} + \frac{x - y}{2} = 1, \\ 2(x + y) - 3x + 3y = 6. \end{cases}$
解：设 $ x + y = m $，$ x - y = n $，则原方程组变形为 $ \begin{cases} \frac{m}{3} + \frac{n}{2} = 1, \\ 2m - 3n = 6, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} m = 3, \\ n = 0. \end{cases} $ ∴ $ \begin{cases} x + y = 3, \\ x - y = 0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = \frac{3}{2}, \\ y = \frac{3}{2}. \end{cases} $ ∴原方程组的解为 $ \begin{cases} x = \frac{3}{2}, \\ y = \frac{3}{2}. \end{cases} $

答案： 解：设 $ x + y = m $，$ x - y = n $，则原方程组变形为 $ \begin{cases} \frac{m}{3} + \frac{n}{2} = 1, \\ 2m - 3n = 6, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} m = 3, \\ n = 0. \end{cases} $
∴ $ \begin{cases} x + y = 3, \\ x - y = 0, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} x = \frac{3}{2}, \\ y = \frac{3}{2}. \end{cases} $
∴原方程组的解为 $ \begin{cases} x = \frac{3}{2}, \\ y = \frac{3}{2}. \end{cases} $