《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版》

10. 在Rt△ABC中,斜边BC= 10,则$BC^{2}+AB^{2}+AC^{2}=$(C)
A. 20
B. 100
C. 200
D. 144

答案： C

11. 如图,在Rt△ABC中,若$∠C= 90^{\circ },AC= 3,BC= 4$,则点C到直线AB的距离为(D)

A. 3
B. 4
C. 5
D. 2.4

答案： D

12. (教材P9习题T6变式)已知等腰三角形的腰长为5cm,底边上的中线长为4cm,则它的面积是(D)
$A. 24cm^2$
$B. 20cm^2$
$C. 15cm^2$
$D. 12cm^2$

答案： D

13. 如图所示的是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的面积分别是4,6,2,4,则最大正方形E的面积是(C)

A. 12
B. 14
C. 16
D. 18

答案： C

14. 如图,在边长为1的小正方形网格中,P为CD上任意一点,则$PB^{2}-PA^{2}$的值为12.

答案： 12

15. 如图,在四边形草坪ABCD中,$∠B= ∠D= 90^{\circ }$.若AB= 20m,BC= 15m,CD= 7m,求这块草坪ABCD的面积.

解：连接AC. 在 $Rt△ABC$ 中，由勾股定理，得 $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=20^{2}+15^{2}=625=25^{2}$. ∴ $AC=$25m. 在 $Rt△ADC$ 中，由勾股定理，得 $AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$，∴ $AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=$24$^{2}$. ∴ $AD=$24m. ∴ $S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}AB\cdot BC+\frac{1}{2}AD\cdot CD=\frac{1}{2}×20×15+\frac{1}{2}×24×7=$234$(m^{2})$. ∴ 这块草坪ABCD的面积为234$m^{2}$.

答案： 解：连接AC. 在 $Rt△ABC$ 中，由勾股定理，得 $AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=20^{2}+15^{2}=625=25^{2}$.
∴ $AC=25m$. 在 $Rt△ADC$ 中，由勾股定理，得 $AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$，
∴ $AD^{2}=AC^{2}-CD^{2}=24^{2}$.
∴ $AD=24m$.
∴ $S_{四边形ABCD}=\frac{1}{2}AB\cdot BC+\frac{1}{2}AD\cdot CD=\frac{1}{2}×20×15+\frac{1}{2}×24×7=234(m^{2})$.
∴ 这块草坪ABCD的面积为 $234m^{2}$.

16. 人大附中校本经典题 根据勾股定理知识迁移,解答下列问题.
(1)如图1,分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆,求它们的面积$S_{1},S_{2},S_{3}$之间满足的等量关系.$S_{1}+S_{2}=S_{3}$
(2)应用:如图2,直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,分别以三边为直径作半圆.若a= 3,c= 5,求图中阴影部分的面积.6

答案： 解：
(1) 设 $S_{1}$，$S_{2}$，$S_{3}$ 分别对应直径为 $a$，$b$，$c$，根据勾股定理，得 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. 由图，得 $S_{1}=\frac{1}{2}π(\frac{a}{2})^{2}=\frac{π}{8}a^{2}$，同理可得，$S_{2}=\frac{π}{8}b^{2}$，$S_{3}=\frac{π}{8}c^{2}$，
∴ $S_{1}+S_{2}=\frac{π}{8}a^{2}+\frac{π}{8}b^{2}=\frac{π}{8}(a^{2}+b^{2})=\frac{π}{8}c^{2}=S_{3}$.
(2) 设以 $a$，$b$，$c$ 为直径的三个半圆的面积分别为 $P$，$Q$，$R$，以 $a$，$b$ 为直角边的直角三角形的面积为 $S_{4}$.
∵ $a=3$，$c=5$，
∴ $b^{2}=c^{2}-a^{2}=5^{2}-3^{2}=16=4^{2}$.
∴ $b=4$.
∴ $S_{4}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×3×4=6$. 由
(1)知，$P+Q=R$，
∴ 阴影部分的面积为 $S=P+Q+S_{4}-R=S_{4}=6$.