《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版》

2. 如图,直线$y= 2x-2$与x轴交于点B,直线$y= \frac {1}{2}x+1$与y轴交于点C,这两条直线相交于点$A(2,a)$。求：
(1)点A,B,C的坐标。
A(2,2), B(1,0), C(0,1)
(2)四边形ABOC的面积。
2

答案： 解:
(1)
∵点$A(2,a)$在直线$y=\frac{1}{2}x + 1$上,$\therefore a=\frac{1}{2}\times2 + 1 = 2$.
∴点$A$的坐标为$(2,2)$.把$y = 0$代入$y = 2x - 2$,得$x = 1$.
∴点$B$的坐标为$(1,0)$.把$x = 0$代入$y=\frac{1}{2}x + 1$,得$y = 1$.
∴点$C$的坐标为$(0,1)$.
(2)连接$OA$.$\because S_{\triangle ABO}=\frac{1}{2}OB\cdot|y_{A}|=\frac{1}{2}\times1\times2 = 1$,$S_{\triangle ACO}=\frac{1}{2}OC\cdot|x_{A}|=\frac{1}{2}\times1\times2 = 1$,$\therefore S_{四边形ABOC}=S_{\triangle ABO}+S_{\triangle ACO}=1 + 1 = 2$.

【例3】如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y= kx+9$的图象与y轴相交于点A,与x轴相交于点C,并与直线$y= \frac {5}{3}x$相交于点B,其中点B的横坐标为3。
(1)求点B的坐标和k的值。点B的坐标为(3,5),k的值为$-\frac{4}{3}$。
(2)Q为直线$y= kx+9$上一动点,当点Q运动到何位置时,$\triangle OBQ的面积等于\frac {27}{4}$？请求出点Q的坐标。点Q的坐标为($\frac{9}{2},3$)或($\frac{3}{2},7$)。

答案： 解:
(1)把$x = 3$代入$y=\frac{5}{3}x$,得$y = 5$.
∴点$B$的坐标为$(3,5)$.
∵点$B$在一次函数$y = kx + 9$的图象上,
∴$5 = 3k + 9$,解得$k=-\frac{4}{3}$.
(2)把$x = 0$代入$y=-\frac{4}{3}x + 9$,得$y = 9$.
∴点$A$的坐标为$(0,9)$,即$OA = 9$.设点$Q$的坐标为$(m,-\frac{4}{3}m + 9)$,则$S_{\triangle OBQ}=\frac{1}{2}OA\cdot|x_{Q}-x_{B}|=\frac{1}{2}\times9\times|m - 3|=\frac{27}{4}$,解得$m=\frac{9}{2}$或$m=\frac{3}{2}$.当$m=\frac{9}{2}$时,$-\frac{4}{3}m + 9 = 3$;当$m=\frac{3}{2}$时,$-\frac{4}{3}m + 9 = 7$.
∴点$Q$的坐标为$(\frac{9}{2},3)$或$(\frac{3}{2},7)$.

3. 在平面直角坐标系xOy中,经过点$(1,2)$的直线$y= kx+b$与x轴交于点A,与y轴交于点B。
(1)当$b= 3$时,求k的值以及点A的坐标。
k的值为-1，点A的坐标为(3,0)。
(2)若$k= b$,P是该直线上一点,当$\triangle OPA$的面积等于$\triangle OAB$面积的2倍时,求点P的坐标。
点P的坐标为(1,2)或(-3,-2)。

答案： 解:
(1)
∵直线$y = kx + b$经过点$(1,2)$,$\therefore k + b = 2$.当$b = 3$时,$k = - 1$.
∴直线的表达式为$y = - x + 3$.令$y = 0$,得$x = 3$,$\therefore$点$A$的坐标为$(3,0)$.
(2)由
(1)知,$k + b = 2$,当$k = b$时,可得$k = b = 1$.
∴直线的表达式为$y = x + 1$.令$x = 0$,得$y = 1$;令$y = 0$,得$x = - 1$,$\therefore$点$A$的坐标为$(-1,0)$,点$B$的坐标为$(0,1)$.$\therefore S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{2}$.设点$P(n,n + 1)$.$\because S_{\triangle OPA}=2S_{\triangle OAB}$,$\therefore\frac{1}{2}\times1\times|n + 1|=2\times\frac{1}{2}$,解得$n = 1$或$n = - 3$.
∴点$P$的坐标为$(1,2)$或$(-3,-2)$.