《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版》

12. 将直角三角形三条边的长度同时扩大相同 的倍数后得到的三角形(A)
A. 仍是直角三角形
B. 可能是锐角三角形
C. 可能是钝角三角形
D. 不可能是直角三角形

答案： A

13. $\triangle ABC的三边长分别为a,b,c$,下列条件: ①$∠A= ∠B-∠C$;②$∠A:∠B:∠C= $ $3:4:5$;③$a^{2}= (b+c)(b-c)$;④$a:b:c= $ $5:12:13$.其中能判定$\triangle ABC$是直角三角 形的有(C)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： C

14. 新考向 数学文化 勾股定理最早出现在商 高的《周髀算经》:“勾广三,股修四,经隅 五”,我国古代把直角三角形的直角边中较 小者称为“勾”,另一长直角边称为“股”,把 斜边称为“弦”.柏拉图研究了勾为偶数,弦 与股相差为2的一类勾股数,如:6,8,10;8, 15,17……若此类勾股数的勾为10,则其弦 是26.

答案： 26

15. 如图,正方形$ABCD$由9 个边长为1的小正方形组成,每个小正方形的顶点都叫格点,连接$AE,AF$,则$∠EAF= $45$^{\circ }$.

答案： 45

16. 图1是某品牌婴儿车,图2为其简化结构示意图.根据安全标准需满足$BC⊥CD$,现测得$AB= CD= 6dm,BC= 3dm,AD= 9dm,$其中$AB与BD之间由一个固定为90^{\circ }$的零件连接(即$∠ABD= 90^{\circ }$),通过计算说明该车是否符合安全标准.
解：在$Rt\triangle ABD$中，$BD^{2}=AD^{2}-AB^{2}=9^{2}-6^{2}=$45，在$\triangle BCD$中，$BC^{2}+CD^{2}=3^{2}+6^{2}=$45，$\therefore BC^{2}+CD^{2}=BD^{2}$。$\therefore \angle BCD=$90°。$\therefore BC \perp CD$。故该车符合安全标准。

答案： 解：在$Rt\triangle ABD$中，$BD^{2}=AD^{2}-AB^{2}=9^{2}-6^{2}=45$，在$\triangle BCD$中，$BC^{2}+CD^{2}=3^{2}+6^{2}=45$，$\therefore BC^{2}+CD^{2}=BD^{2}$。$\therefore \angle BCD=90^{\circ}$。$\therefore BC \perp CD$。故该车符合安全标准。

17. 新考向 推理能力 清华附中校本经典题 我们在课堂上学习了勾股定理后,知道“勾 三、股四、弦五”.王老师给出一组数让学生 观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40, 41……学生发现这些勾股数的勾都是奇数, 且从3起就没有间断,于是王老师提出以下 问题让学生解决.
(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股 数:11,60,61.
(2)若第一个数用字母$a$(a为奇数,且$a≥3$) 表示,则后两个数用含$a$的代数式分别 怎么表示？聪明的小明发现每组第二个 数有这样的规律:$4= \frac {3^{2}-1}{2},12= \frac {5^{2}-1}{2},$ $24= \frac {7^{2}-1}{2}$……于是他很快表示出了第 二个数为$\frac {a^{2}-1}{2}$,则用含$a$的代数式表示 第三个数为$\frac{a^{2}+1}{2}$.
(3)用所学知识说明(2)中用字母$a$表示的 三个数是勾股数.
解：$\because a^{2}+(\frac{a^{2}-1}{2})^{2}=\frac{a^{4}+2a^{2}+1}{4}$，$(\frac{a^{2}+1}{2})^{2}=\frac{a^{4}+2a^{2}+1}{4}$，$\therefore a^{2}+(\frac{a^{2}-1}{2})^{2}=(\frac{a^{2}+1}{2})^{2}$。又$\because a$为奇数，且$a \geq 3$，$\therefore a$，$\frac{a^{2}-1}{2}$，$\frac{a^{2}+1}{2}$都是正整数。$\therefore a$，$\frac{a^{2}-1}{2}$，$\frac{a^{2}+1}{2}$是勾股数。

答案： 解：（1）60 61 （2）$\frac{a^{2}+1}{2}$ （3）$\because a^{2}+(\frac{a^{2}-1}{2})^{2}=\frac{a^{4}+2a^{2}+1}{4}$，$(\frac{a^{2}+1}{2})^{2}=\frac{a^{4}+2a^{2}+1}{4}$，$\therefore a^{2}+(\frac{a^{2}-1}{2})^{2}=$$(\frac{a^{2}+1}{2})^{2}$。又$\because a$为奇数，且$a \geq 3$，$\therefore a$，$\frac{a^{2}-1}{2}$，$\frac{a^{2}+1}{2}$都是正整数。$\therefore a$，$\frac{a^{2}-1}{2}$，$\frac{a^{2}+1}{2}$是勾股数。