《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版》

学习探究
探究平面直角坐标系中两点间的距离,设$P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2})$.
(1)如图1,当点$P_{1},P_{2}$的纵坐标相同时,$P_{1}P_{2}=$$x_{2}-x_{1}$;当点$P_{1},P_{2}$的横坐标相同时,$P_{1}P_{2}=$$y_{2}-y_{1}$.

(2)如图2,$P_{1}C= x_{2}-x_{1},P_{2}C= y_{2}-y_{1}$,由勾股定理,得$P_{1}P_{2}=$$\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$.

答案： 学习探究
(1)$x_{2}-x_{1}$ $y_{2}-y_{1}$
(2)$\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$

1. 在平面直角坐标系中,A,B两点的坐标分别为$(5,-1),(5,2)$,则A,B两点间的距离为3.

答案： 3

2. 在平面直角坐标系中,已知点$P(1,-\sqrt {2})$到原点的距离为 (C)
A. 1
B. $\sqrt {2}$
C. $\sqrt {3}$
D. 3

答案： C

3. 在平面直角坐标系中,点$A(1,2),B(-3,b)$,当线段AB最短时,线段AB的长为 (C)
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案： C

4. 已知$\triangle ABC各顶点的坐标分别为A(-1,4),B(-3,1),C(1,1)$,请判定$\triangle ABC$的形状,并说明理由.

答案： 解:$\triangle ABC$是等腰三角形,理由如下:$\because AB=\sqrt{(-1+3)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{13}$,$BC=\sqrt{(-3-1)^{2}+(1-1)^{2}}=4$,$AC=\sqrt{(-1-1)^{2}+(4-1)^{2}}=\sqrt{13}$,$\therefore AB=AC$,$AB^{2}+AC^{2}\neq BC^{2}$,$\therefore \triangle ABC$为等腰三角形.

5. 如图,已知点$A(3,0),B(0,4)$,在x轴上找一点C,使$\triangle ABC$为等腰三角形,求所有点C的坐标.

解:设$C(x,0)$.$\because A(3,0)$,$B(0,4)$,$\therefore AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$,$AC=\sqrt{(3-x)^{2}}=|3-x|$,$BC=\sqrt{x^{2}+16}$.①当$AB=AC$时,$\triangle ABC$为等腰三角形.$\therefore |3-x|=5$,解得$x=-2$或$x=8$.$\therefore$点$C$的坐标为$(-2,0)$或$(8,0)$.②当$AB=BC$时,$\triangle ABC$为等腰三角形.$\therefore \sqrt{x^{2}+16}=5$,解得$x=3$或$x=-3$.当$x=3$时,$A$,$C$两点重合,不合题意,舍去.$\therefore$点$C$的坐标为$(-3,0)$.③当$AC=BC$时,$\triangle ABC$为等腰三角形.$\therefore |3-x|=\sqrt{x^{2}+16}$,解得$x=-\frac{7}{6}$.$\therefore$点$C$的坐标为$(-\frac{7}{6},0)$.综上所述,点$C$的坐标为$(-2,0)$或$(8,0)$或$(-3,0)$或$(-\frac{7}{6},0)$.

答案： 解:设$C(x,0)$.$\because A(3,0)$,$B(0,4)$,$\therefore AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$,$AC=\sqrt{(3-x)^{2}}=|3-x|$,$BC=\sqrt{x^{2}+16}$.①当$AB=AC$时,$\triangle ABC$为等腰三角形.$\therefore |3-x|=5$,解得$x=-2$或$x=8$.$\therefore$点$C$的坐标为$(-2,0)$或$(8,0)$.②当$AB=BC$时,$\triangle ABC$为等腰三角形.$\therefore \sqrt{x^{2}+16}=5$,解得$x=3$或$x=-3$.当$x=3$时,$A$,$C$两点重合,不合题意,舍去.$\therefore$点$C$的坐标为$(-3,0)$.③当$AC=BC$时,$\triangle ABC$为等腰三角形.$\therefore |3-x|=\sqrt{x^{2}+16}$,解得$x=-\frac{7}{6}$.$\therefore$点$C$的坐标为$(-\frac{7}{6},0)$.综上所述,点$C$的坐标为$(-2,0)$或$(8,0)$或$(-3,0)$或$(-\frac{7}{6},0)$.