《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版》

15. 已知点$A(a-1,b+2)$,$B(3,4)$,$C(-1,-2)$在同一个平面直角坐标系中,且AB所在的直线平行于x轴,AC所在的直线平行于y轴,则$a+b= $2.

答案： 2

16. 如图,在以点O为原点的平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为$(a,0)$,$(a,b)$,点C在y轴上,且$BC// x$轴,a,b满足$|a-3|+\sqrt{b-4}= 0$. 点P从原点出发,以1个单位长度/秒的速度沿着$O-A-B-C-O$的路线运动(回到点O为止).
(1) 直接写出点A,B,C的坐标.
(2) 当点P运动5秒时,求出点P的坐标.

(3) 点P运动t秒后$(t≠0)$,是否存在点P到x轴的距离为$\frac{1}{2}t$个单位长度的情况. 若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.

答案：
解:
(1) A(3,0), B(3,4), C(0,4).
(2) 当 P 运动 5 秒时, 点 P 运动了 1×5 = 5 个单位长度.
∵ AO = 3, AB = 4,
∴ 点 P 运动 5 秒时, 点 P 在线段 AB 上.
∵ AP = 5 - 3 = 2,
∴ 点 P 的坐标是 (3,2).
(3) 存在. 如图.
∵ t ≠ 0,
∴ 点 P 可能运动到 AB 或 BC 或 OC 上. ① 当点 P 运动到 AB 上, 即 0 ＜ t ≤ 7 时, P₁A = t - OA = t - 3,
∴ t - 3 = $\frac{1}{2}t$, 解得 t = 6.
∴ P₁A = 1×6 - 3 = 3.
∴ 点 P₁ 的坐标为 (3,3); ② 当点 P 运动到 BC 上, 即 7 ＜ t ≤ 10 时, 点 P₂ 到 x 轴的距离为 4,
∴ $\frac{1}{2}t = 4$, 解得 t = 8.
∴ P₂C = 3 + 4 + 3 - 1×8 = 2.
∴ 点 P₂ 的坐标为 (2,4); ③ 当点 P 运动到 OC 上, 即 10 ＜ t ≤ 14 时, P₃O = OA + AB + BC + OC - t = 14 - t,
∴ 14 - t = $\frac{1}{2}t$, 解得 t = $\frac{28}{3}$.
∵ $\frac{28}{3} ＜ 10$,
∴ 此情况不符合题意, 舍去. 综上所述, 点 P 运动 t 秒后, 存在点 P 到 x 轴的距离为 $\frac{1}{2}t$ 个单位长度的情况, 点的 P 坐标为 (3,3) 或 (2,4).

【例】 若点$M(5+a,a-3)$在第二、四象限的角平分线上,则$a= $-1.

答案： -1

1. 在平面直角坐标系中,若点$P(2m-3,3m-1)$在第一、三象限的角平分线上,则点P的坐标为(-7,-7).

答案： (-7,-7)

2. 如图,在x轴、y轴上分别截取OA,OB,使$OA= OB$,再分别以点A,B为圆心,大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧,两弧相交于点P. 若点P的坐标为$(a,2a-3)$,则a的值为3.

答案： 3

3. 已知点$P(2a+5,10-3a)$位于两坐标轴所成角的平分线上,则点P的坐标为(7,7) 或 (35,-35).

答案： (7,7) 或 (35,-35)