《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版》

10. 新考向 数学文化《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何？”大致意思：一根竹子高 1 丈,折断后竹子顶端落在离竹子底端 3 尺处,那么折断处离地面的高度为4.55尺。(1 丈 = 10 尺)

答案： 1. 设折断处离地面的高度为$x$尺：
已知竹子高$1$丈$ = 10$尺，则折断部分的长度为$(10 - x)$尺。
根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方），这里直角三角形的一条直角边为$x$（折断处离地面高度），另一条直角边为$3$（顶端离底端距离），斜边为$(10 - x)$（折断部分长度）。
可列方程$x^{2}+3^{2}=(10 - x)^{2}$。
2. 展开方程：
根据完全平方公式$(a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}$，$(10 - x)^{2}=100-20x + x^{2}$，则原方程$x^{2}+9 = 100-20x + x^{2}$。
方程两边同时消去$x^{2}$，得到$x^{2}-x^{2}+20x=100 - 9$。
3. 求解方程：
化简得$20x=91$，解得$x = 4.55$。
故折断处离地面的高度为$4.55$尺。

11. A 北京四中校本经典题 一辆装满货物的卡车,其外形的宽为 2.4 米,高为 3.9 米,这辆卡车能(填“能”或“不能”)通过如图所示的隧道。

答案： 能

12. 新考向 真实情境 图图和涵涵在创意文化市集上买了一个年画风筝,在试飞风筝过程中,他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度。以下是他们测量高度的过程(如图)：
①先测得放飞点与风筝的水平距离 BD 的长为 8 米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 AC 的长为 10 米；
③牵线放风筝的手离地面的距离 AB 为 1.5 米。
已知点 A,B,C,D 在同一平面内。
(1)求风筝离地面的垂直高度 CD。

(2)在测高的过程中涵涵提出了一个新的问题：在手中剩余线仅剩 7.5 米的情况下,若想要风筝沿射线 DC 方向再上升 9 米,BD 的长度不变,能否成功呢？请你帮助解决涵涵提出的问题。(能成功)

答案： 解：
(1)过点 $ A $ 作 $ AE \perp CD $ 于点 $ E $。则 $ AE = BD = 8 $ 米，$ AB = DE = 1.5 $ 米，$ \angle AEC = 90^{\circ} $。由勾股定理，得 $ CE^{2}=AC^{2}-AE^{2}=10^{2}-8^{2}=36 $，$ \therefore CE = 6 $ 米。$ \therefore CD = CE + DE = 6 + 1.5 = 7.5 $（米）。
(2)能成功。理由如下：延长 $ DC $ 至点 $ F $，使 $ CF = 9 $ 米，连接 $ AF $。$ \because CF = 9 $ 米，$ \therefore EF = CE + CF = 6 + 9 = 15 $（米）。由勾股定理，得 $ AF^{2}=AE^{2}+EF^{2}=8^{2}+15^{2}=289 $，$ \therefore AF = 17 $ 米。$ \because AC = 10 $ 米，余线仅剩 $ 7.5 $ 米，$ \therefore 10 + 7.5 = 17.5 ＞ 17 $。
∴风筝能上升 $ 9 $ 米，即能成功。

13. A 兰生复旦校本经典题 如图,有一台环卫车沿公路 AB 由点 A 向点 B 行驶,已知点 C 为一所学校,且点 C 与直线 AB 上两点 A,B 的距离分别为 150 m 和 200 m,且 $AB = 250m$,环卫车周围 130 m 以内为受噪声影响区域。
(1)学校 C 会受噪声影响吗？为什么？
答：学校 C 会受噪声影响。理由如下：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D。∵AC=150m，BC=200m，AB=250m，∴AC²+BC²=AB²。∴∠ACB=90°。∴S△ABC=1/2AC·BC=1/2CD·AB。∴CD=AC·BC/AB=150×200/250=120(m)。∵环卫车周围 130m 以内为受噪声影响区域，∴学校 C 会受噪声影响。
(2)若环卫车的行驶速度为 50m/min,环卫车的噪声影响该学校持续的时间为多少分钟？
答：2min

答案： 解：
(1)学校 $ C $ 会受噪声影响。理由如下：过点 $ C $ 作 $ CD \perp AB $ 于点 $ D $。$ \because AC = 150 \mathrm{m} $，$ BC = 200 \mathrm{m} $，$ AB = 250 \mathrm{m} $，$ \therefore AC^{2}+BC^{2}=AB^{2} $。$ \therefore \angle ACB = 90^{\circ} $。$ \therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}CD\cdot AB $。$ \therefore CD=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{150\times 200}{250}=120(\mathrm{m}) $。
∵环卫车周围 $ 130 \mathrm{m} $ 以内为受噪声影响区域，
∴学校 $ C $ 会受噪声影响。
(2)图略，当 $ EC = 130 \mathrm{m} $，$ FC = 130 \mathrm{m} $ 时，正好影响学校 $ C $。$ \because ED^{2}=EC^{2}-CD^{2}=130^{2}-120^{2}=2500 $，$ \therefore ED = 50 \mathrm{m} $。$ \therefore EF = 100 \mathrm{m} $。$ \because 100\div 50 = 2(\mathrm{min}) $。答：环卫车的噪声影响该学校持续的时间为 $ 2 \mathrm{min} $。