《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版》

漫话勾股世界——教材P6“阅读·思考”变式
阅读与思考：请阅读下列材料,并完成相应的任务.
勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等,是人类早期发现并证明的重要数学定理之一,大约有五百多种证明方法,下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法.
赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”(史称“赵爽弦图”),其中a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,四边形ABDE和四边形CFGH是正方形.
达·芬奇用如图2所示的方法证明,其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成,面积记为S_1；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成,面积记为S_2.

任务：
(1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程,请你帮她补充完整.
证明：由图1,知S_{正方形ABDE}= 4S_{△ABC}+S_{正方形CFGH},正方形CFGH的边长为____.
∵S_{正方形ABDE}= c^2,S_{△ABC}= ____,S_{正方形CFGH}=
∴c^2= 4×$\frac{1}{2}$ab+(a-b)^2= 2ab+a^2-2ab+b^2,即a^2+b^2= c^2.
(2)请你参照小颖的验证过程,利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程.
(3)这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称“无字证明”.实际上,初中数学还有一些代数恒等式(除上述涉及的)也可以借助“无字证明”来直观解释,请你举出一例,画出图形并直接写出所解释的代数恒等式.

答案：
解:
(1) $ a - b $ $ \frac{1}{2}ab $ $ (a - b)^2 $
(2) 根据题意, 得 $ S_1 = a^2 + b^2 + 2 \times \frac{1}{2}ab = a^2 + b^2 + ab $, $ S_2 = c^2 + 2 \times \frac{1}{2}ab = c^2 + ab $. $ \because S_1 = S_2 $, $ \therefore a^2 + b^2 + ab = c^2 + ab $, 即 $ a^2 + b^2 = c^2 $.
(3) $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $, 图形如图所示. (答案不唯一)