《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版》

8. 对实数a,b作新定义：$a@b= ab,a※b= a^{b}$.在此定义下,计算：$(\sqrt {\frac {4}{3}}-\sqrt {\frac {3}{2}})@\sqrt {12}-(\sqrt {75}-4\sqrt {3})※2= $$1 - 3\sqrt{2}$.

答案： $1 - 3\sqrt{2}$

9. 计算：
(1)$\sqrt {\frac {9}{2}}-\sqrt {\frac {1}{2}}+\sqrt {8}$.
(2)$(3\sqrt {12}-2\sqrt {\frac {1}{3}}+\sqrt {48})÷2\sqrt {3}$.
(3)$(\sqrt {2}-6\sqrt {\frac {1}{12}})-(4\sqrt {\frac {1}{8}}-\frac {1}{2}\sqrt {75})$.

答案： 解：
(1) 原式 $=\frac{3}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$.
(2) 原式 $=(3×2\sqrt{3}-2×\frac{\sqrt{3}}{3}+4\sqrt{3})÷2\sqrt{3}=(6\sqrt{3}-\frac{2}{3}\sqrt{3}+4\sqrt{3})÷2\sqrt{3}=\frac{28\sqrt{3}}{3}÷2\sqrt{3}=\frac{14}{3}$.
(3) 原式 $=\sqrt{2}-6\sqrt{\frac{1}{12}}-4\sqrt{\frac{1}{8}}+\frac{1}{2}\sqrt{75}=\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{2}+\frac{5}{2}\sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

10. 如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中,$\triangle ABC$的顶点A,B,C恰好在格点(网格线的交点)上.
(1)求$\triangle ABC$的周长.$5 + 3\sqrt{5}$

(2)求$\triangle ABC$的面积.5

答案： 解：
(1) 根据题意，得 $AB=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=\sqrt{25}=5$，$\therefore △ABC$ 的周长为 $AB + AC + BC = 2\sqrt{5}+\sqrt{5}+5 = 5 + 3\sqrt{5}$.
(2) $\because AB = 2\sqrt{5}$，$AC = \sqrt{5}$，$BC = 5$，$\therefore BC^{2}=25$，$AB^{2}+AC^{2}=20 + 5 = 25$. $\therefore BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$. $\therefore △ABC$ 是直角三角形，$∠BAC = 90^{\circ}$. $\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}AC·AB=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$.

11. 阅读与计算：请阅读以下材料,并完成相应的任务.
斐波那契(约1175-1250)是意大利数学家,他研究了一列数,这列数非常奇妙,被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中,发现了许多意想不到的结果.在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的花瓣数恰好是斐波那契数列中的数,斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.
斐波那契数列中的第n个数可以用$\frac {1}{\sqrt {5}}[(\frac {1+\sqrt {5}}{2})^{n}-(\frac {1-\sqrt {5}}{2})^{n}]$表示(其中$n≥1$),这是用无理数表示有理数的一个范例.
任务：请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.

答案： 解：第1个数：当 $n = 1$ 时，$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}]=\frac{1}{\sqrt{5}}×(\frac{1+\sqrt{5}}{2}-\frac{1-\sqrt{5}}{2})=\frac{1}{\sqrt{5}}×\sqrt{5}=1$. 第2个数：当 $n = 2$ 时，$\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}]=\frac{1}{\sqrt{5}}×[(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{2}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{2}]=\frac{1}{\sqrt{5}}×\frac{1 + 2\sqrt{5}+5 - 1 + 2\sqrt{5}-5}{4}=\frac{1}{\sqrt{5}}×\sqrt{5}=1$.