《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版》

9. 如图,下列条件：①$∠B + ∠BCD = 180^{\circ}$；②$∠1 = ∠2$；③$∠3 = ∠4$；④$∠B = ∠5$；⑤$∠3 = ∠5$。其中能判定$AB// CD$的是(B)

A. ①②
B. ①③④
C. ③⑤
D. ②④⑤

答案： B

10. 如图所示的四种沿$AB$进行折叠的方法中,不一定能判断纸带两条边$a$,$b$互相平行的是(C)

A. 如图1,展开后测得$∠1 = ∠2$
B. 如图2,展开后测得$∠1 = ∠2$,$∠3 = ∠4$
C. 如图3,测得$∠1 = ∠2$
D. 如图4,展开后测得$∠1 + ∠2 = 180^{\circ}$

答案： C

11. 石家庄外国语校本经典题 如图,将$a$,$b$,$c$三根木棒钉在一起,$∠1 = 70^{\circ}$,$∠2 = 100^{\circ}$。现将木棒$c$固定,木棒$a$,$b同时分别以17^{\circ}/s和2^{\circ}/s$的速度沿顺时针方向旋转。当木棒$a$旋转一周时,两根木棒同时停止旋转,则旋转2 或 14$s后木棒a$,$b$平行。

答案： 2 或 14

12. 求证：在同一平面内,如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线平行。

答案：
解：已知：如图，$ AB\perp EF $，垂足为 $ B $，$ CD\perp EF $，垂足为 $ D $。求证：$ AB// CD $。
证明：
∵ $ AB\perp EF $，$ CD\perp EF $，
∴ $ \angle ABD=\angle CDF = 90^{\circ} $。
∴ $ AB// CD $。

13. 如图,已知$BE平分∠ABD$,$DE平分∠CDB$,且$∠1与∠2$互余。求证：$AB// CD$。
证明：∵ $ \angle 1 $ 与 $ \angle 2 $ 互余，∴ $ \angle 1+\angle 2 = $$90^{\circ}$。∵ $ BE $ 平分 $ \angle ABD $，$ DE $ 平分 $ \angle CDB $，∴ $ \angle ABD = $$2\angle 1$，$ \angle CDB = $$2\angle 2$。∴ $ \angle ABD+\angle CDB = 2\angle 1+2\angle 2 = $$2(\angle 1+\angle 2)$$ = 180^{\circ} $。∴ $ AB// CD $。

答案： 证明：
∵ $ \angle 1 $ 与 $ \angle 2 $ 互余，
∴ $ \angle 1+\angle 2 = 90^{\circ} $。
∵ $ BE $ 平分 $ \angle ABD $，$ DE $ 平分 $ \angle CDB $，
∴ $ \angle ABD = 2\angle 1 $，$ \angle CDB = 2\angle 2 $。
∴ $ \angle ABD+\angle CDB = 2\angle 1+2\angle 2 = 2(\angle 1+\angle 2) = 180^{\circ} $。
∴ $ AB// CD $。

14. 如图,台球运动中,母球$P击中桌边上的点A$,经桌边反弹后击中相邻桌边上的点$B$,再次反弹(提示：$∠PAD = ∠BAE$,$∠ABE = ∠CBF$,$∠AEB = 90^{\circ}$)。
(1)若$∠PAD = 25^{\circ}$,求$∠PAB$的度数。130°
(2)母球$P经过的路线BC与PA$一定平行吗？请说明理由。一定平行，理由如下：∵$∠PAD=∠BAE$，$∠PAB=180^{\circ}-∠PAD-∠BAE$，∴$∠PAB=180^{\circ}-2∠BAE$。同理，$∠ABC=180^{\circ}-2∠ABE$。∵$∠BAE+∠ABE=90^{\circ}$，$∠PAB+∠ABC=360^{\circ}-2(∠BAE+∠ABE)=360^{\circ}-2×90^{\circ}=180^{\circ}$。∴$BC//PA$

答案： 解：（1）
∵ $ \angle PAD = 25^{\circ} $，$ \angle PAD=\angle BAE $，$ \angle PAD+\angle PAB+\angle BAE = 180^{\circ} $，
∴ $ \angle PAB = 180^{\circ}-25^{\circ}-25^{\circ} = 130^{\circ} $。（2）$ BC// PA $。理由如下：
∵ $ \angle PAD=\angle BAE $，$ \angle PAB = 180^{\circ}-\angle PAD-\angle BAE $，
∴ $ \angle PAB = 180^{\circ}-2\angle BAE $。同理，$ \angle ABC = 180^{\circ}-2\angle ABE $。
∵ $ \angle BAE+\angle ABE = 90^{\circ} $，$ \angle PAB+\angle ABC = 360^{\circ}-2(\angle BAE+\angle ABE) = 360^{\circ}-2\times 90^{\circ} = 180^{\circ} $。
∴ $ BC// PA $。