《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版》

11. A|清华附中校本经典题 若$\sqrt {24n}$是整数,则满足条件的最小正整数n的值为6.

答案： 6

12. 要使算式$3\sqrt {2}◯ \sqrt {8}$的运算结果最小,则○中应添加的运算符号是(B)
A. +
B. -
C. ×
D. ÷

答案： B

13. 若$a+\sqrt {12}= \sqrt {27}$,则表示实数a的点会落在数轴的(B)

A. 段①上
B. 段②上
C. 段③上
D. 段④上

答案： B

14. 若$\sqrt {a}+\sqrt {b}= \sqrt {8}$,则a和b的值不可能是(D)
A. $a= 2,b= 2$
B. $a= \frac {1}{2},b= \frac {9}{2}$
C. $a= 0,b= 8$
D. $a= 4,b= 2$

答案： D

15. 计算：
(1) $\sqrt {18}-4\sqrt {\frac {1}{2}}-\sqrt {24}÷\sqrt {3}$.
(2) $\sqrt {48}÷\sqrt {3}+\sqrt {\frac {1}{2}}×\sqrt {12}-\sqrt {24}$.

答案： 解:
(1) 原式 $=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}-\sqrt{24÷3}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=-\sqrt{2}$.
(2) 原式 $=\sqrt{48÷3}+\sqrt{\frac{1}{2}×12}-2\sqrt{6}=4+\sqrt{6}-2\sqrt{6}=4-\sqrt{6}$.

16. A|湖南师大附中校本经典题 如图,这是某土楼的平面示意图,它由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为$763.02m^{2}和150.72m^{2}$,求圆环的宽度d(π取3.14).

解: 设大圆和小圆的半径分别为 $R$, $r$, 面积分别为 $S_1$, $S_2$. 由 $S_1=\pi R^2$, $S_2=\pi r^2$ 可知, $R=\sqrt{\frac{S_1}{\pi}}$, $r=\sqrt{\frac{S_2}{\pi}}$, $\therefore d=R - r=\sqrt{\frac{S_1}{\pi}}-\sqrt{\frac{S_2}{\pi}}\approx\sqrt{\frac{763.02}{3.14}}-\sqrt{\frac{150.72}{3.14}}=\sqrt{243}-\sqrt{48}=9\sqrt{3}-4\sqrt{3}=$$5\sqrt{3}$$(m)$.

答案： 解: 设大圆和小圆的半径分别为 $R$, $r$, 面积分别为 $S_1$, $S_2$. 由 $S_1=\pi R^2$, $S_2=\pi r^2$ 可知, $R=\sqrt{\frac{S_1}{\pi}}$, $r=\sqrt{\frac{S_2}{\pi}}$, $\therefore d=R - r=\sqrt{\frac{S_1}{\pi}}-\sqrt{\frac{S_2}{\pi}}\approx\sqrt{\frac{763.02}{3.14}}-\sqrt{\frac{150.72}{3.14}}=\sqrt{243}-\sqrt{48}=9\sqrt{3}-4\sqrt{3}=5\sqrt{3}(m)$.

17. 新考向 推理能力 小强根据学习“数与式”积累的经验,想通过“由特殊到一般”的思想探究下面二次根式的运算规律.下面是小强的探究过程,请补充完整：
(1) 具体运算,发现规律：
特例1：$\sqrt {1+\frac {1}{3}}= \sqrt {\frac {3+1}{3}}= \sqrt {4×\frac {1}{3}}= 2\sqrt {\frac {1}{3}}$；
特例2：$\sqrt {2+\frac {1}{4}}= \sqrt {\frac {8+1}{4}}= \sqrt {9×\frac {1}{4}}= 3\sqrt {\frac {1}{4}}$；
特例3：$\sqrt {3+\frac {1}{5}}= 4\sqrt {\frac {1}{5}}$；
特例4：____.(填写一个符合上述运算特征的例子)
(2) 观察、归纳,得出猜想：
如果n为正整数,用含n的代数式表示上述特例的运算规律：____.
(3) 请说明(2)中猜想的正确性.
(4) 应用运算规律计算：$\sqrt {2024+\frac {1}{2026}}×\sqrt {4052}$.
(1) $\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$
(2) $\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$
(3) 等式左边 $=\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=\sqrt{\frac{n(n + 2)+1}{n+2}}=\sqrt{\frac{n^2+2n+1}{n+2}}=\sqrt{\frac{(n + 1)^2}{n+2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}=$ 等式右边.
(4) 原式 $=2025\sqrt{\frac{1}{2026}}×\sqrt{2×2026}=2025\sqrt{2}$.

答案： 解:
(1) $\sqrt{4+\frac{1}{6}}=5\sqrt{\frac{1}{6}}$
(2) $\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}$
(3) 等式左边 $=\sqrt{n+\frac{1}{n+2}}=\sqrt{\frac{n(n + 2)+1}{n+2}}=\sqrt{\frac{n^2+2n+1}{n+2}}=\sqrt{\frac{(n + 1)^2}{n+2}}=(n + 1)\sqrt{\frac{1}{n+2}}=$ 等式右边.
(4) 原式 $=2025\sqrt{\frac{1}{2026}}×\sqrt{2×2026}=2025\sqrt{2}$.