《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版》

7. 两个正数的和是24,求它们积的最大值。你有哪些解决问题的方法？
解：方法一：面积法(借助赵爽弦图)。
设这两个正数分别为x,y,如图,用8个全等的直角边长分别为x,y的直角三角形拼成“弦图”。
由图可知AE= DH= BF= CG= x,DE= AF= BG= CH= y。
由题意,得x+y=24。
8个直角三角形的面积为4xy=S正方形ABCD-S_{正方形KLMN}=576-S_{正方形KLMN},
∴xy=144-$\frac{1}{4}$S_{正方形KLMN}。
∴求xy的最大值,即求S_{正方形KLMN}的最小值。
又∵S_{正方形KLMN}最小值为0,
∴xy的最大值为144。
方法二：利用平方差公式求解。
设这两个正数分别为12-n,12+n。
则它们的乘积为(12-n)·(12+n)=144-n^2。
∴求它们积的最大值,即求n^2的最小值。
又∵n^2的最小值为0,
∴它们积的最大值为144。

答案： 24　S正方形ABCD 576　144　0　144　12+n　(12+n)　144　0　144

8. 追本溯源：题(1)来自课本中的习题改编,请你完成解答,提炼方法并完成题(2)。
(1)如图1,一个长方体盒子,它的长、宽、高分别为8cm,8cm,12cm,一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B,你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？
(2)如图2,长方体的长为15cm,宽为10cm,高为20cm,点B在棱CD上,CB= 5cm,一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是多少？

答案：
解:
(1)如图3，由勾股定理，得AB²=12²+(8+8)²=400.
　　　　　　　
如图4，由勾股定理，得AB²=8²+(8+12)²=464.
∵464＞400，
∴蚂蚁爬行的最短路线为A−P−B(P为CD的中点)，最短路程是20cm.
(2)将长方体按下列三种方案展开:①如图5，一直角边长为10cm，另外一直角边长为20+5=25(cm)，根据勾股定理，得AB²=10²+25²=725;②如图6，一直角边长为20cm，另外一直角边长为10+5=15(cm)，根据勾股定理，得AB²=20²+15²=625;③如图7，AC=20+10=30(cm)，BC=5cm，根据勾股定理，得AB²=30²+5²=925.
∵625＜725＜925，625=25²，
∴一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是25cm.
　　　　
　　　　　　　 　 　
　　　　　图5