《2025年名校课堂八年级数学上册北师大版》

12. 若正比例函数的图象经过点$(4,-5)$,则这个图象必经过点 (D)
A. $(-5,-4)$
B. $(4,5)$
C. $(5,-4)$
D. $(-4,5)$

答案： D

13. 若点$P(x_{1},y_{1}),Q(x_{2},y_{2})在正比例函数y= mx$的图象上,且当$x_{1}＜x_{2}$时,$y_{1}＞y_{2}$,则$m$的值可以是 (D)
A. 2
B. 0
C. $\frac{2}{5}$
D. $\sqrt{3}-2$

答案： D

14. 我们知道,通过列表、描点、连线可以画出一个函数的图象. 在画完函数$y= 2x$的图象后,何老师给同学们提出一个问题:“不通过画图,你能解释为什么函数$y= 2x$的图象经过第一、三象限吗?”聪明的小亮经过思考,给出了这样的解
答:“当$x＞0$时,$y= 2x＞0$,此时描出的点都在第一象限;当$x＜0$时,$y= 2x＜0$,此时描出的点都在第三象限. 所以函数$y= 2x$的图象一定经过第一、三象限.”大家不禁为善于思考的小亮鼓掌. 最后何老师又给大家留了一道思考题:下面四个图象中哪个是函数$y= \sqrt{x}$的图象 (C)

答案： C

15. 若$k＞0,x＞0$,则关于函数$y= kx$的结论:①$y随x$的增大而增大;②$y随x$的增大而减小;③$y$恒为正数;④$y$恒为负数. 其中正确的是①③.(填序号)

答案： ①③

16. 已知$y-2与3x-4$成正比例,且当$x= 2$时,$y= 3$.
(1)写出$y与x$之间的关系式.$y = \frac{3}{2}x$
(2)若点$P(a,-3)$在这个函数的图象上,求$a$的值.$-2$
(3)若$y的取值范围为-1≤y≤1$,求$x$的最小值.$-\frac{2}{3}$

答案： 解：
(1)由题意，设 $ y - 2 = k(3x - 4) $. 将 $ x = 2 $，$ y = 3 $ 代入，得 $ 2k = 1 $，解得 $ k = \frac{1}{2} $.
∴ $ y - 2 = \frac{1}{2}(3x - 4) $，即 $ y = \frac{3}{2}x $.
(2)将点 $ P(a,-3) $ 代入 $ y = \frac{3}{2}x $，得 $ \frac{3}{2}a = -3 $，解得 $ a = -2 $.
(3)在 $ y = \frac{3}{2}x $ 中，
∵ $ \frac{3}{2} ＞ 0 $，
∴ $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.
∴当 $ x $ 取最小值时，$ y $ 值最小. 当 $ y = -1 $ 时，$ \frac{3}{2}x = -1 $，解得 $ x = -\frac{2}{3} $.
∴ $ x $ 的最小值为 $ -\frac{2}{3} $.

17. 如图,已知正比例函数$y= kx$的图象经过点A,点A在第四象限,过点A作$AH⊥x$轴,垂足为H,点A的横坐标为3,且$\triangle AOH$的面积为3.
(1)求正比例函数的表达式.
(2)在$x轴上是否存在一点P$,使$\triangle AOP$的面积为5? 若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)已知点$Q在x$轴上,若$\triangle AOQ是以AO$为腰的等腰三角形,则点$Q$的坐标为$ (\sqrt{13},0) $ 或 $ (-\sqrt{13},0) $ 或 $ (6,0) $.

(1)∵点 $ A $ 的横坐标为 3，且 $ \triangle AOH $ 的面积为 3，∴点 $ A $ 的纵坐标为 -2. ∴点 $ A $ 的坐标为 $ (3,-2) $. ∵正比例函数 $ y = kx $ 的图象经过点 $ A $，∴将点 $ A(3,-2) $ 代入 $ y = kx $，得 $ 3k = -2 $，解得 $ k = -\frac{2}{3} $. ∴正比例函数的表达式为 $ y = -\frac{2}{3}x $. (2)存在. 理由如下：∵ $ S_{\triangle AOP} = 5 $，∴ $ \frac{1}{2}OP \cdot AH = 5 $. 又∵ $ AH = 2 $，∴ $ OP = 5 $. ∴点 $ P $ 的坐标为 $ (5,0) $ 或 $ (-5,0) $.

答案： 解：
(1)
∵点 $ A $ 的横坐标为 3，且 $ \triangle AOH $ 的面积为 3，
∴点 $ A $ 的纵坐标为 -2.
∴点 $ A $ 的坐标为 $ (3,-2) $.
∵正比例函数 $ y = kx $ 的图象经过点 $ A $，
∴将点 $ A(3,-2) $ 代入 $ y = kx $，得 $ 3k = -2 $，解得 $ k = -\frac{2}{3} $.
∴正比例函数的表达式为 $ y = -\frac{2}{3}x $.
(2)存在. 理由如下：
∵ $ S_{\triangle AOP} = 5 $，
∴ $ \frac{1}{2}OP \cdot AH = 5 $. 又
∵ $ AH = 2 $，
∴ $ OP = 5 $.
∴点 $ P $ 的坐标为 $ (5,0) $ 或 $ (-5,0) $.
(3) $ (\sqrt{13},0) $ 或 $ (-\sqrt{13},0) $ 或 $ (6,0) $