《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

1. 若异面直线$l_{1},l_{2}$的方向向量分别是$a =(0,-2,-1),b=(2,0,4)$，则异面直线$l_{1}$与$l_{2}$的夹角的余弦值等于 (B)

A.$-\frac{2}{5}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
D.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

答案： B $\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b} = -4,\mid\boldsymbol{a}\mid = \sqrt{5},\mid\boldsymbol{b}\mid = 2\sqrt{5}$，
$\cos\theta = \mid\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle\mid = \frac{\mid\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b}\mid}{\mid\boldsymbol{a}\mid\mid\boldsymbol{b}\mid} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

2. 正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，直线$BC_{1}$与平面$A_{1}BD$所成角的正弦值是 (C)

A.$\frac{\sqrt{2}}{4}$
B.$\frac{\sqrt{2}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{6}}{3}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： C 计算得$\sin\theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$。 故选$C$。

3. 已知两异面直线$l_{1}$和$l_{2}$的方向向量分别为$v_{1}$和$v_{2}$，若$\cos\langle v_{1},v_{2}\rangle =-\frac{1}{2}$，则$l_{1}$与$l_{2}$所成角为60°.

答案： 60° 由$\cos\langle\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2}\rangle = -\frac{1}{2}$，则$\langle\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2}\rangle = 120°$，$l_1,l_2$所成角为其补角$60°$。

4. 已知向量$m,n$分别是直线$l$和平面$\alpha$的方向向量和法向量，若$\cos\langle m,n\rangle =\frac{1}{2}$，则直线$l$与平面$\alpha$所成角的大小为30°.

答案： 30° 由于$\cos\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle = \frac{1}{2},0°\leq\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle\leq180°$，所以$\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle = 60°$，
所以直线$l$与$\alpha$所成的角为$30°$。

5. 如图，点$O$是正$\triangle ABC$平面外一点，若$OA = OB = OC = AB = 1$，$E,F$分别是$AB,OC$的中点，试求$OE$与$BF$所成角的余弦.

答案： 设$\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a},\overrightarrow{OB} = \boldsymbol{b},\overrightarrow{OC} = \boldsymbol{c}$，则$\boldsymbol{a}·\boldsymbol{b} = \boldsymbol{b}·\boldsymbol{c} = \boldsymbol{c}·\boldsymbol{a} = \frac{1}{2}$，$\mid\boldsymbol{a}\mid = \mid\boldsymbol{b}\mid = \mid\boldsymbol{c}\mid = 1$，
$\overrightarrow{OE}·\overrightarrow{BF} = \frac{1}{2}(\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b})·(\frac{1}{2}\boldsymbol{c} - \boldsymbol{b})$
$= \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\boldsymbol{a}·\boldsymbol{c} + \frac{1}{2}\boldsymbol{b}·\boldsymbol{c} - \boldsymbol{a}·\boldsymbol{b} - \mid\boldsymbol{b}\mid^2)$
$= \frac{1}{2}(\frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 1) = -\frac{1}{2}$，
$\therefore\cos\langle\overrightarrow{OE},\overrightarrow{BF}\rangle = \frac{\overrightarrow{OE}·\overrightarrow{BF}}{\mid\overrightarrow{OE}\mid\mid\overrightarrow{BF}\mid} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{2}{3}$，
$\therefore OE$与$BF$所成角的余弦值为$\frac{2}{3}$

知识点1 两个平面所成的角
一般地，已知$\boldsymbol{n_1}$，$\boldsymbol{n_2}$分别为平面$\alpha$，$\beta$的法向量，则二面角$\alpha - l - \beta$的平面角与两法向量所成角$\langle\boldsymbol{n_1},\boldsymbol{n_2}\rangle$(如图(1))或(如图(2)).

答案： 两个平面所成的角（二面角）的平面角与两法向量所成角的关系如下：
设二面角$\alpha - l - \beta$的平面角为$\theta$，两法向量$\boldsymbol{n_1}$，$\boldsymbol{n_2}$所成角为$\langle\boldsymbol{n_1},\boldsymbol{n_2}\rangle$。
当两法向量$\boldsymbol{n_1}$，$\boldsymbol{n_2}$的方向分别指向二面角$\alpha - l - \beta$的内侧（或外侧）时，$\theta$与$\langle\boldsymbol{n_1},\boldsymbol{n_2}\rangle$互补（如图
(1)）；
当两法向量$\boldsymbol{n_1}$，$\boldsymbol{n_2}$的方向分别指向二面角$\alpha - l - \beta$的内侧和外侧时，$\theta$与$\langle\boldsymbol{n_1},\boldsymbol{n_2}\rangle$相等（如图
(2)）。
故答案为：互补；相等。