《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

知识点 2 抛物线的标准方程
抛物线的标准方程有四种形式：$y^{2}=2px$，$y^{2} = - 2px$，$x^{2}=2py$，$x^{2} = - 2py$，标准方程中只含一个参数$p(p ＞ 0)$，参数$p$的几何意义是焦点到准线的距离，所以$p$恒为正. 抛物线的标准方程及相应的焦点坐标、准线方程.

答案： $y^{2}=-2px(p＞0)$；$F(0,\frac{p}{2})$；$y=\frac{p}{2}$

例 1. 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.
(1) 经过点$( - 3, - 1)$；
(2) 焦点为直线$3x - 4y - 12 = 0$与坐标轴的交点.

答案： 例1:
(1)因为点$(-3,-1)$在第三象限,
所以设所求抛物线的标准方程为$y^{2}=-2p_{1}x(p_{1}＞0)$或$x^{2}=-2p_{2}y(p_{2}＞0)$.
若抛物线的标准方程为$y^{2}=-2p_{1}x(p_{1}＞0)$,
则由$(-1)^{2}=-2p_{1} ×(-3)$,解得$p_{1}=\frac{1}{6}$;
若抛物线的标准方程为$x^{2}=-2p_{2}y(p_{2}＞0)$,
则由$(-3)^{2}=-2p_{2} ×(-1)$,解得$p_{2}=\frac{9}{2}$.
故所求抛物线的标准方程为$y^{2}=-\frac{1}{3}x$或$x^{2}=-9y$.
(2)对于直线方程$3x - 4y - 12 = 0$.令$x = 0$,得$y = -3$.
令$y = 0$,得$x = 4$,即直线与坐标轴的交点为$(0,-3)$,$(4,0)$,
所以抛物线的焦点为$(0,-3)$或$(4,0)$.
当焦点为$(0,-3)$时,抛物线的标准方程为$x^{2}=-12y$;当焦点为$(4,0)$时,抛物线的标准方程为$y^{2}=16x$.
故所求抛物线的标准方程为$x^{2}=-12y$或$y^{2}=16x$.

根据下列条件分别求出抛物线的标准方程.
(1) 准线方程为$y = \frac{2}{3}$；
(2) 焦点在$y$轴上，焦点到准线的距离为$5$.

答案： 对点训练1:
(1)易知抛物线的准线交$y$轴于正半轴,且$\frac{p}{2}=\frac{2}{3}$,则$p=\frac{4}{3}$
故所求抛物线的标准方程为$x^{2}=-\frac{8}{3}y$.
(2)已知抛物线的焦点在$y$轴上,可设方程为$x^{2}=2my(m \neq 0)$,由焦点到准线的距离为$5$,知$|m| = 5,m = \pm 5$,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为$x^{2}=10y$和$x^{2}=-10y$.