《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

1. 双曲线$2x^{2} - y^{2} = 8$的实轴长是 (C)

A.$2$
B.$2\sqrt{2}$
C.$4$
D.$4\sqrt{2}$

答案： 1.C 双曲线方程$2x^2 - y^2 =8$可化为$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{8} =1$,
∴$a^2 =4$,
∴$a =2$,
∴实轴长为$2a =4$.

2. 已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{6} = 1$的焦距为$4\sqrt{3}$，则$C$的渐近线方程是 (A)

A.$y = \pm x$
B.$y = \pm \sqrt{3}x$
C.$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}x$
D.$y = \pm \frac{\sqrt{7}}{7}x$

答案： 2.A 由题意得:$\begin{cases} 2c =4\sqrt{3}, \\ \frac{b^2}{a} = \sqrt{6}, \\ c^2 =a^2 +b^2, \end{cases}$解得:$\begin{cases} a =\sqrt{6}, \\ b =\sqrt{6}, \\ c =2\sqrt{3}, \end{cases}$即双曲线$C$的方程为$\frac{x^2}{6} - \frac{y^2}{6} =1$,所以$C$的渐近线方程是$y =\pm x$.
故选A.

3. 点$(3,0)$到双曲线$\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$的一条渐近线的距离为 (A)

A.$\frac{9}{5}$
B.$\frac{8}{5}$
C.$\frac{6}{5}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： 3.A 由题意可知,双曲线的渐近线方程为:$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} =0$,即$3x\pm4y =0$,
结合对称性,不妨考虑点$(3,0)$到直线$3x +4y =0$的距离:$d =\frac{9 +0}{\sqrt{9 +16}} =\frac{9}{5}$.
故选A.

4. 已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1(m ＞ 0)$的一条渐近线为$\sqrt{3}x + my = 0$，则$C$的焦距为4.

答案： 4.4 由渐近线方程$\sqrt{3}x +my =0$化简得$y = - \frac{\sqrt{3}}{m}x$,即$\frac{b}{a} =\frac{\sqrt{3}}{m}$,
同时平方得$\frac{b^2}{a^2} =\frac{3}{m^2}$,又双曲线中$a^2 =m,b^2 =1$,故$\frac{3}{m^2} =\frac{1}{m}$,解得$m =3,m =0$(舍去),$c^2 =a^2 +b^2 =3 +1 =4\Rightarrow c =2$,故焦距$2c =4$.

5. 已知双曲线$C_1:x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$.
(1) 求与双曲线$C_1$有相同的焦点，且过点$P(4,\sqrt{3})$的双曲线$C_2$的标准方程；
(2) 直线$l:y = x + m$分别交双曲线$C_1$的两条渐近线于$A,B$两点，当$\overrightarrow{OA} · \overrightarrow{OB} = 3$时，求实数$m$的值.

答案： 5.
(1)双曲线$C_1$的焦点坐标为$(\sqrt{5},0),(-\sqrt{5},0)$,
设双曲线$C_2$的标准方程为$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1(a＞0,b＞0)$,
则$\begin{cases} a^2 +b^2 =5, \\ \frac{16}{a^2} - \frac{3}{b^2} =1, \end{cases}$解得$\begin{cases} a^2 =4, \\ b^2 =1, \end{cases}$
∴双曲线$C_2$的标准方程为$\frac{x^2}{4} - y^2 =1$.
(2)双曲线$C_1$的渐近线方程为$y =2x,y = -2x$,
由$\begin{cases} y =2x, \\ y =x +m \end{cases}$可得$x =m,y =2m$,
∴$A(m,2m)$.
由$\begin{cases} y = -2x, \\ y =x +m \end{cases}$可得$x = -\frac{1}{3}m,y =\frac{2}{3}m$,
∴$B(-\frac{1}{3}m,\frac{2}{3}m)$.
∴$\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB} = -\frac{1}{3}m^2 +\frac{4}{3}m^2 =m^2$.
∵$\overrightarrow{OA}·\overrightarrow{OB} =3$,
∴$m^2 =3$,即$m =\pm\sqrt{3}$.

知识点 1 抛物线的定义
1. 平面内与一个定点$F$和一条定直线$l$($l$不经过点$F$)的距离相等的点的集合(或轨迹)叫作抛物线. 定点$F$叫作抛物线的焦点，这条定直线$l$叫作抛物线的准线.
2. 集合语言表达式：抛物线是点的集合$P =$$\{M||MF|=d$,其中$d$表示点$M$到定直线$l$的距离,$F \notin l\}$.
名师点睛 1. 抛物线的定义实质可以归结为“一动二定一相等”. “一动”即一个动点，设为$M$，“二定”包括一个定点$F$，即抛物线的焦点，和一条定直线$l$，即抛物线的准线，“一相等”即$|MF| = d$($d$为$M$到准线$l$的距离).
2. 定义中，要注意强调定点$F$不在定直线$l$上. 当直线$l$经过点$F$时，点的轨迹是过定点$F$且垂直于定直线$l$的一条直线.

答案： 知识点1 1.相等 准线 2.$\{M||MF|=d$,其中$d$表示点$M$到定直线$l$的距离,$F \notin l\}$