《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例 1. 用 1,2,3,4,5,6,7 这 7 个数字组成没有重复数字的四位数.
(1) 如果组成的四位数必须是偶数, 那么这样的四位数有多少个?
(2) 如果组成的四位数必须大于 6 500, 那么这样的四位数有多少个?
[分析] 这是一道有限制条件的排列问题, 每一问均应优先考虑限制条件, 遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则.

答案：
(1)第一步排个位上的数，因为组成的四位数必须是偶数,个位数字只能是2,4,6之一，所以有A₃¹种排法;第二步排千、百、十这三个数位上的数字，有A₆³种排法.根据分步乘法计数原理，符合条件的四位数的个数是A₃¹A₆³=3×6×5×4=360.
故这样的四位数有360个.
(2)因为组成的四位数要大于6500,所以千位上的数字只能取7或6.排法可以分两类.第一类：千位上排7,有A₆³种不同的排法;第二类：千位上排6,则百位上可排7或5,十位和个位可以从余下的数字中取2个来排，共有A₂¹A₅²种不同的排法.
根据分类加法计数原理，符合条件的四位数的个数是A₆³+A₂¹A₅²=160.
故这样的四位数有160个.

我们把各位数字之和为 7 的四位数称为“北斗数” (如 2 014 是“北斗数”), 则“北斗数”中千位为 3 的共有 15 个.

答案： 15 由已知得千位为3的“北斗数”的后三位之和为4,有以下四种可能：0,0,4;0,1,3;0,2,2;1,1,2;各种组合对应的排列个数分别为3,6,3,3,合计15个.

例 2. 3 名男生, 4 名女生, 这 7 个人站成一排, 在下列情况下, 各有多少种不同的站法.
(1) 男、女各站在一起.
(2) 男生必须排在一起.
(3) 男生不能排在一起.
(4) 男生互不相邻, 且女生也互不相邻.
[分析] 解决“相邻”问题用“捆绑法”, 解决“不相邻”问题用“插空法”.

答案：
(1)(相邻问题捆绑法)男生必须站在一起，即把3名男生进行全排列，有A₃³种排法，女生必须站在一起，即把4名女生进行全排列，有A₄⁴种排法，全体男生、女生各看作一个对象全排列有A₂²种排法，由分步乘法计数原理知共有A₃³A₄⁴A₂²=288种排法.
(2)(捆绑法)把所有男生看作一个对象，与4名女生组成5个对象全排列，故有A₃³A₅⁵=720种不同的排法.
(3)(不相邻问题插空法)先排女生有A₄⁴种排法，把3名男生安排在4名女生隔成的5个空中，有A₅³种排法，故有A₄⁴A₅³=1440种不同的排法.
(4)先排男生有A₃³种排法.让女生插空，有A₄⁴种排法=144种不同的排法.