《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

知识点 1 组合的概念
一般地，从 $n$ 个不同的元素中，任取$m(m\leq n$，且$m,n\in \mathbf{N}_+)$个元素为一组，叫作从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合。
名师点睛 (1)组合概念的两个要点：①$n$ 个对象是不同的；②“只取不排”，即取出的 $m$ 个对象组成的组合与取出对象的先后顺序无关，无序性是组合的特征性质。
(2)如果两个组合中的对象完全相同，那么不管对象的顺序如何，它们都是相同的组合。如果两个组合中的对象不完全相同(即使只有一个对象不同)，那么它们就是不同的组合。

答案： 任取$m(m\leq n$，且$m,n\in \mathbf{N}_+)$个元素为一组

知识点 2 组合数的概念
从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m \leqslant n, 且 m,n \in \mathbf{N}_{+})$ 个元素的所有组合的个数，叫作从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m \leqslant n, 且 m,n \in \mathbf{N}_{+})$ 个元素的组合数，记作$ C_{n}^{m}$。

答案： 所有组合$ C_{n}^{m}$

知识点 3 组合数公式及组合数的性质
$C_{n}^{m} = \frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}} = \frac{n(n-1)(n-2) ·s [n-(m-1)]}{m(m-1)(m-2) ·s 2 · 1} = $ $\frac{n!}{m!(n - m)!}$ $(m \leqslant n, 且 m,n \in \mathbf{N}_{+})$。
规定 $C_{n}^{0} = $ $1$。
性质 1 $C_{n}^{m} = C_{n}^{n-m}$；
性质 2 $C_{n+1}^{m} = C_{n}^{m} + C_{n}^{m-1}$。
名师点睛 (1)组合数公式 $C_{n}^{m} = \frac{n(n-1) ·s [n-(m-1)]}{m(m-1) ·s 2 · 1}$ 一般用于计算，而公式 $C_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)! · m!}$ 及 $C_{n}^{m} = \frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}$ 一般用于证明、解方程(不等式)等。
(2)公式 $A_{n}^{m} = C_{n}^{m} A_{m}^{m}$ 的运用。
(3)性质 1 的应用：①简化计算，当 $m ＞ \frac{n}{2}$ 时，通常将计算 $C_{n}^{m}$ 转化为计算 $C_{n}^{n-m}$；②列等式，由 $C_{n}^{x} = C_{n}^{y}$，可得 $x=y$ 或 $x+y=n$。
(4)性质 2 的正用、逆用及变形使用：逆用时是“合二为一”，正用时则是将组合数 $C_{n+1}^{m}$ 拆为两个；性质 2 还可变形为 $C_{n}^{m} = C_{n+1}^{m} - C_{n}^{m-1}$，在一些题目中可简化求和。

答案： $\frac{n!}{m!(n - m)!}$ $1$