《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

1. 若抛物线$x = -my^{2}$的焦点到准线的距离为$2$，则$m =$ (D)

A.$-4$
B.$\frac{1}{4}$
C.$-\frac{1}{4}$
D.$\pm \frac{1}{4}$

答案： 1.D 抛物线$x = -my^{2}$的标准方程为$y^{2} = - \frac{1}{m}x$,焦点到准线的距离为$\frac{1}{2|m|}$,由已知得$\frac{1}{2|m|} = 2$,解得$m = \pm \frac{1}{4}$

2. 已知抛物线$y = 4x^{2}$上一点$P$到焦点的距离为$1$，则点$P$的纵坐标为 (C)

A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{7}{8}$
C.$\frac{15}{16}$
D.$\frac{17}{16}$

答案： 2.C 根据抛物线方程可求得焦点坐标为$\left( 0,\frac{1}{16} \right)$,准线方程为$y = - \frac{1}{16}$,根据抛物线定义,$\therefore y_{P} + \frac{1}{16} = 1$,解得$y_{P} = \frac{15}{16}$

3. 若点$P$在抛物线$y^{2} = x$上，点$Q$在圆$M:(x - 3)^{2} + y^{2} = 1$上，则$|PQ|$的最小值是 (D)

A.$\sqrt{3} - 1$
B.$\frac{\sqrt{10}}{2} - 1$
C.$2$
D.$\frac{\sqrt{11}}{2} - 1$

答案： 3.D 将本题转化为求抛物线上的点到圆心的最小距离.设$P(y_{0}^{2},y_{0})$,由$(x - 3)^{2} + y^{2} = 1$可知圆心坐标为$M(3,0)$,半径$r = 1$,
则$|PM| = \sqrt{(y_{0}^{2} - 3)^{2} + y_{0}^{2}} = \sqrt{(y_{0}^{2} - \frac{5}{2})^{2} + \frac{11}{4}}$.因此$|PM|$的最小值为$\frac{\sqrt{11}}{2}$,从而$|PQ|$的最小值为$\frac{\sqrt{11}}{2} - 1$.故选D.

4. ($2023 ·$全国乙理，$13$)已知点$A(1,\sqrt{5})$在抛物线$C:y^{2} = 2px$上，则$A$到$C$的准线的距离为$\frac{9}{4}$.

答案： 4.$\frac{9}{4}$ 由题意可得:$(\sqrt{5})^{2} = 2p × 1$,则$2p = 5$,抛物线的方程为$y^{2} = 5x$,
准线方程为$x = - \frac{5}{4}$,点$A$到$C$的准线的距离为$1 - \left( - \frac{5}{4} \right) = \frac{9}{4}$.故答案为$\frac{9}{4}$

5. 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线$y^{2} = 2px(p ＞ 0)$上，求这个正三角形的边长.

答案：
5.如图,设正三角形$OAB$的顶点$A,B$在抛物线$y^{2} = 2px(p ＞ 0)$上,且坐标分别为$(x_{1},y_{1})$,$(x_{2},y_{2})$,则$y_{1}^{2} = 2px_{1},y_{2}^{2} = 2px_{2}$.
又因为$|OA| = |OB|$,
所以$x_{1}^{2} + y_{1}^{2} = x_{2}^{2} + y_{2}^{2}$,即$x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + 2px_{1} - 2px_{2} = 0$.
所以$(x_{1} - x_{2})(x_{1} + x_{2} + 2p) = 0$.
因为$x_{1} ＞ 0,x_{2} ＞ 0,2p ＞ 0$,所以$x_{1} + x_{2} + 2p \neq 0,x_{1} = x_{2}$,
即$A,B$两点关于$x$轴对称,则$\angle AOx = 30^{\circ}$.
所以$AB \perp x$轴,所以$y_{1} = x_{1}\tan 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}x_{1}$.
又因为$x_{1} = \frac{y_{1}^{2}}{2p}$,所以$y_{1} = 2\sqrt{3}p$.
所以$|AB| = 2y_{1} = 4\sqrt{3}p$,即为所求正三角形的边长.