《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例1. 离心率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$的椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的左、右焦点分别为$F_{1}(-1,0),F_{2}(1,0),O$是坐标原点.
(1)求椭圆$C$的方程；
(2)若直线$x=ky+3$与$C$交于相异两点$M,N$,求$k$的范围.

答案： 例1:
(1)依题意得$\begin{cases} c = 1, \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{5}}{5}, \\a^2 = b^2 + c^2 \end{cases}$
解得$a = \sqrt{5}, b = 2, c = 1$
$\therefore$椭圆方程为$\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1$
(2)将直线与椭圆方程联立,$\begin{cases} \frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1, \\x = ky + 3 \end{cases}$消去$x$,整理得
$(4k^2 + 5)y^2 + 24ky + 16 = 0$
$\because$直线与椭圆$C$交于相异两点,即$\Delta = (24k)^2 - 64(4k^2 + 5) ＞ 0$
$\therefore k ＞ 1$或$k ＜ -1$,即$k$的取值范围为$(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$

若直线$y=kx+1$与焦点在$x$轴上的椭圆$\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{m}=1$总有公共点,求$m$的取值范围.

答案： 对点训练1:因为直线$y = kx + 1$过定点$A(0,1)$
由题意知,点$A$在椭圆$\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{m} = 1$内或椭圆上
所以$\frac{0^2}{5} + \frac{1^2}{m} \leq 1$,即$m \geq 1$
又椭圆焦点在$x$轴上,所以$m ＜ 5$
故$m$的取值范围为$[1,5)$