《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

1. 如图，如果 $ MC \perp $ 菱形 $ ABCD $ 所在平面，那么 $ MA $ 与 $ BD $ 的位置关系是(C)

A.平行
B.垂直相交
C.垂直但不相交
D.相交但不垂直

答案： 1.C 因为四边形$ABCD$是菱形，所以$BD \bot AC$。
又$MC \bot$平面$ABCD$，则$BD \bot MA$，
又因为点$M$在平面$ABCD$外，因此直线$MA$与$BD$的位置关系是垂直但不相交。故选C。

2. (多选题)已知 $ \boldsymbol{v}_1 $，$ \boldsymbol{v}_2 $ 分别为直线 $ l_1 $，$ l_2 $ 的方向向量($ l_1 $，$ l_2 $ 不重合)，$ \boldsymbol{n}_1 $，$ \boldsymbol{n}_2 $ 分别为平面 $ \alpha $，$ \beta $ 的法向量($ \alpha $，$ \beta $ 不重合)，则下列说法中正确的是(BD)

A.$ \boldsymbol{v}_1 // \boldsymbol{v}_2 \Leftrightarrow l_1 \perp l_2 $
B.$ \boldsymbol{v}_1 \perp \boldsymbol{v}_2 \Leftrightarrow l_1 \perp l_2 $
C.$ \boldsymbol{n}_1 // \boldsymbol{n}_2 \Leftrightarrow \alpha \perp \beta $
D.$ \boldsymbol{n}_1 \perp \boldsymbol{n}_2 \Leftrightarrow \alpha \perp \beta $

答案： 2.BD $\because v_1,v_2$分别为直线$l_1,l_2$的方向向量（$l_1,l_2$不重合），
$\therefore v_1//v_2 \Leftrightarrow l_1//l_2$，故A错误；
$v_1 \bot v_2 \Leftrightarrow l_1 \bot l_2$，故B正确；
$\because n_1,n_2$分别为平面$\alpha,\beta$的法向量（$\alpha,\beta$不重合），
$\therefore n_1//n_2 \Leftrightarrow \alpha//\beta$，故C错误；
$\therefore n_1 \bot n_2 \Leftrightarrow \alpha \bot \beta$，故D正确。故选BD。

3. 正方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 的棱长为 $ 1 $，$ E $，$ F $ 分别是棱 $ BC $，$ DD_1 $ 上的点，如果 $ B_1E \perp $ 平面 $ ABF $，则 $ CE $ 与 $ DF $ 的长度之和为1.

答案：
3.1 以直线$D_1A_1,D_1C_1,D_1D$分别为$x$轴，$y$轴，$z$轴建立空间直角坐标系，设$CE = x$，$DF = y$，则$E(x,1,1),F(0,0,1 - y),A(1,0,1),B_1(1,1,0)$，所以$\overrightarrow{AF}=(-1,0,-y),\overrightarrow{B_1E}=(x - 1,0,1)$，又$B_1E \bot$平面$ABF$，所以$\overrightarrow{B_1E} \bot \overrightarrow{AF}$，即$\overrightarrow{B_1E} · \overrightarrow{AF}=0$，所以$x + y = 1$。

4. 如图，正方形 $ ADEF $ 与梯形 $ ABCD $ 所在的平面互相垂直，$ AD \perp CD $，$ AB // CD $，$ AB = AD = 2 $，$ CD = 4 $，$ M $ 为 $ CE $ 的中点.
求证：$ BM // $ 平面 $ ADEF $.

答案：
4.证明:$\because$平面$ADEF \bot$平面$ABCD$，平面$ADEF \cap$平面$ABCD = AD$，$AD \bot ED$，$ED \subset$平面$ADEF$，
$\therefore ED \bot$平面$ABCD$。
以点$D$为坐标原点，$DA,DC,DE$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴建立如图所示的空间直角坐标系。

则$D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),F(2,0,2)$。
$\because M$为$EC$的中点，$\therefore M(0,2,1)$，
则$\overrightarrow{BM}=(-2,0,1),\overrightarrow{AD}=(-2,0,0),\overrightarrow{AF}=(0,0,2)$，
$\therefore \overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AF}$，故$\overrightarrow{BM},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AF}$共面。
又$BM⊄$平面$ADEF$，$\therefore BM//$平面$ADEF$。

5. 如图，在棱长为 $ 1 $ 的正方形 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中 $ E $，$ F $，$ G $，$ M $ 分别为 $ A_1B_1 $，$ B_1C_1 $，$ C_1D_1 $，$ BB_1 $ 的中点. 试用向量法证明：
(1) $ AG // $ 平面 $ BEF $；
(2) $ DM \perp $ 平面 $ BEF $.

答案：
5.证明:
(1)以$D$为坐标原点，$DA,DC,DD_1$所在直线分别为$x$轴、$y$轴和$z$轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则$A(1,0,0),B(1,1,0),E(1,\frac{1}{2},1),F(\frac{1}{2},1,1),G(0,\frac{1}{2},1)$，
所以$\overrightarrow{EF}=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},0),\overrightarrow{BF}=(-\frac{1}{2},0,1),\overrightarrow{AG}=(-1,\frac{1}{2},1)$。
所以$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{BF}$，故$\overrightarrow{AG}$与$\overrightarrow{EF},\overrightarrow{BF}$共面，
又因为$AG⊄$平面$BEF$，所以$AG//$平面$BEF$。

(2)易知$\overrightarrow{DM}=(1,1,\frac{1}{2})$，
所以$\overrightarrow{DM} · \overrightarrow{EF}=-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}=0$，$\overrightarrow{DM} · \overrightarrow{BF}=-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}=0$，
所以$DM \bot EF$，$DM \bot BF$。
又因为$BF \cap EF = F$，
所以$DM \bot$平面$BEF$。