《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例 3. 已知某圆圆心在$ x $轴上，半径为 5，且截$ y $轴所得线段长为 8，求该圆的标准方程.
[错解] 如图，由题设知$ |AB| = 8 $，$ |AC| = 5 $.

在$ Rt\triangle AOC $中，
$ |OC| = \sqrt{|AC|^{2}-|OA|^{2}} $
$ = \sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3 $.
$ \therefore C $点坐标$ (3,0) $，
$ \therefore $所求圆的标准方程为$ (x-3)^{2}+y^{2}=25 $.
[辨析] 由题意知，$ |OC| = 3 $，$ C $在$ x $轴上，则$ C $可能在$ x $轴正半轴上，也可能在$ x $轴负半轴上，错解只考虑了在$ x $轴正半轴上的情况.
[正解]
[误区警示] 借助图形解决数学问题，只能是定性地分析，而不能定量研究，要定量研究问题，就应考虑到几何图形的各种情况，本题出错就是由于考虑问题不全面所致.

答案：
例3：正解一：如图，由题设$|AC| = r = 5, |AB| = 8, \therefore |AO| = 4$。在$Rt\triangle AOC$中，$|OC| = \sqrt{|AC|^2 - |AO|^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。设点$C$坐标为$(a, 0)$，则$|OC| = |a| = 3, \therefore a = \pm 3$。$\therefore$所求圆的标准方程为$(x + 3)^2 + y^2 = 25$或$(x - 3)^2 + y^2 = 25$。

正解二：由题意设所求圆的标准方程为$(x - a)^2 + y^2 = 25$。$\because$圆截$y$轴所得线段长为$8, \therefore$圆过点$A(0, 4)$。代入方程得$a^2 + 16 = 25, \therefore a = \pm 3, \therefore$所求圆的标准方程为$(x + 3)^2 + y^2 = 25$或$(x - 3)^2 + y^2 = 25$。

1. 圆$ (x+1)^{2}+(y-2)^{2}=4 $的圆心与半径分别为(A)

A.$ (-1,2),2 $
B.$ (1,-2),2 $
C.$ (-1,2),4 $
D.$ (1,-2),4 $

答案： 1.A

2. 若点$ (5a+1,12a) $在圆$ (x-1)^{2}+y^{2}=1 $的内部，则实数$ a $满足(D)

A.$ |a| ＜ 1 $
B.$ a ＜ \dfrac{1}{3} $
C.$ |a| ＜ \dfrac{1}{5} $
D.$ |a| ＜ \dfrac{1}{13} $

答案： 2.D 依题意有$(5a)^2 + 144a^2 ＜ 1$，所以$169a^2 ＜ 1$，所以$a^2 ＜ \frac{1}{169}$，即$|a| ＜ \frac{1}{13}$，故选D。

3. (2024·河北保定高二期中)已知圆$ M $经过点$ A(-2,0) $，$ B(0,4) $，$ C(0,0) $，则圆$ M $的标准方程为$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$.

答案： 3.$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$ 设圆$M$的方程为$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，则$\begin{cases}(2 + a)^2 + b^2 = r^2 \\a^2 + (4 - b)^2 = r^2 \\a^2 + b^2 = r^2\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = -1 \\b = 2 \\r = \sqrt{5}\end{cases}$，所以圆$M$的标准方程为$(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$。

4. 圆$ (x-3)^{2}+(y+1)^{2}=1 $关于直线$ x+y-3=0 $对称的圆的标准方程是$(x - 4)^2 + y^2 = 1$.

答案： 4.$(x - 4)^2 + y^2 = 1$ 设圆心$A(3, -1)$关于直线$x + y - 3 = 0$对称的点$B$的坐标为$(a, b)$，则$\begin{cases} \frac{b + 1}{a - 3} · (-1) = -1 \frac{a + 3}{2} + \frac{b - 1}{2} - 3 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases} a = 4 \\b = 0\end{cases}$，故所求圆的标准方程为$(x - 4)^2 + y^2 = 1$。

5. 求过点$ A(1,-1) $，$ B(-1,1) $，且圆心在直线$ x+y-2=0 $上的圆的标准方程.

答案： 5.设圆的标准方程为$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，根据已知条件可得$\begin{cases}(1 - a)^2 + (-1 - b)^2 = r^2 \\(-1 - a)^2 + (1 - b)^2 = r^2 \\a + b - 2 = 0\end{cases}$，解此方程组得$\begin{cases}a = 1 \\b = 1 \\r = 2\end{cases}$，所以所求圆的标准方程为$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4$。