《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例 4. 解不等式$A_{8}^{x}＜6A_{8}^{x - 2}$.
[错解] 由排列数公式得$\frac{8!}{(8 - x)!}＜6×\frac{8!}{(10 - x)!}$，化简得$x^{2}-19x + 84＜0$，解之得$7＜x＜12$.
$\because x\in \mathbf{N}^{*}$，$\therefore x = 8,9,10,11$.
[辨析] 在排列数公式$A_{n}^{m}$中，隐含条件$m\leq n,m\in \mathbf{N}^{*},n\in \mathbf{N}^{*}$，错解没有考虑到$x - 2＞0$，$8\geq x$，导致错误.
[正解]

答案： 例4:由$A_{8}^{x} ＜ 6A_{8}^{x - 2}$,得$\frac{8!}{(8 - x)!} ＜ 6 × \frac{8!}{(10 - x)!}$,
化简得$x^{2} - 19x + 84 ＜ 0$,解之得$7 ＜ x ＜ 12$,
又$\begin{cases} 8 \geq x, \\ x - 2 ＞ 0, \end{cases}$ $\therefore 2 ＜ x \leq 8$,
由①②及$x \in N^{*}$得$x = 8$.

1.$A_{12}^{m}=9×10×11×12$，则$m$等于 (B)

A.3
B.4
C.5
D.6

答案： 1.B 由排列数公式可知$m = 4$,故选B.

2. 从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为 (C)

A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B.甲乙乙，乙丙甲
C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D.甲乙，甲丙，乙丙

答案： 2.C 这是一个排列问题,与顺序有关,任意两人对应的是两种站法,故C正确.

3. 从$1,2,3,4$四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有2种运算可以看作排列问题 (B)

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 3.B 因为加法和乘法满足交换律,所以选出两个数做加法和乘法时,结果与两个数字位置无关,故不是排列问题,而减法、除法与两个数字的位置有关,故是排列问题.

4. 不等式$A_{n - 1}^{2}-n＜7$的解集为 (C)

A.$\{n\mid - 1＜n＜5\}$
B.$\{1,2,3,4\}$
C.$\{3,4\}$
D.$\{4\}$

答案： 4.C 由$A_{n - 1}^{2} - n ＜ 7$,得$(n - 1)(n - 2) - n ＜ 7$,即$-1 ＜ n ＜ 5$,又因为$n \in N^{*}$且$n - 1 \geq 2$,所以$n = 3,4$.故选C.

5. 计算：$\frac{A_{7}^{5}+A_{7}^{4}}{A_{8}^{6}-A_{8}^{5}}=$$\frac{1}{4}$.

答案： 5.$\frac{1}{4}$ 解法一:$\frac{A_{7}^{3} + A_{5}^{2}}{A_{8}^{3} - A_{8}^{2}} = \frac{3A_{7}^{2} + A_{5}^{2}}{24A_{7}^{2} - 8A_{7}^{1}} = \frac{1}{4}$.
解法二:$\frac{A_{7}^{3} + A_{5}^{2}}{A_{8}^{3} - A_{8}^{2}} = \frac{\frac{7!}{4!} + \frac{5!}{3!}}{\frac{8!}{5!} - \frac{8!}{6!}} = \frac{\frac{3 × 7! + 7!}{3 × 8! - 8!}}{\frac{4 × 7!}{2 × 8!}} = \frac{4 × 7!}{2 × 8 × 7!} = \frac{1}{4}$.