《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

从包括甲、乙两名同学在内的 7 名同学中选出 5 名同学排成一排, 求解下列问题.
(1) 甲不在首位的排法有多少种?
(2) 甲既不在首位, 又不在末位的排法有多少种?
(3) 甲与乙既不在首位又不在末位的排法有多少种?
(4) 甲不在首位, 同时乙不在末位的排法有多少种?
[分析] 因为只需从 7 名同学中选出 5 名同学参与排列, 所以应对有特殊限制的元素是否被选出参与排列分类考虑, 然后再利用排列的知识进行解题.

答案：
(1) 2160；
(2) 1800；
(3) 1200；
(4) 1860。

例 4. (1) 用 1,2,3,4,5,6,7 组成没有重复数字的七位数, 若 1,3,5,7 的顺序一定, 则符合条件的七位数有 210 个.
(2) 将 A,B,C,D,E 这 5 个字母排成一列, 要求 A,B,C 在排列中的顺序为“A,B,C”或“C,B,A” (可以不相邻), 这样的排列有 40 个 (用数字作答).
[分析] 定序问题常用“除法”和“插空法”.

答案：
(1)210 1,3,5,7的排列顺序有A₄⁴=24(种)，故1,3,5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的1/24.
故符合条件的七位数有1/24A₇⁷=210(个).
(2)40 解法一(整体法)：5个字母无限制条件的排列有A₅⁵种，由于字母A,B,C的排列顺序有A₃³种，因此，满足条件的排列有A₅⁵/A₃³×2=40(个).
解法二(插空法)：若字母A,B,C的排列顺序为“A,B,C”，将字号D,E插入这时形成的4个空中，分两类：
第一类，若字母D,E相邻，则有A₄¹A₂²种排法；
第二类，若字母D,E不相邻，则有A₄²种排法.
所以不同的排列方法有A₄¹A₂²+A₄²=20(种).
同理，若字母A,B,C的排列顺序为“C,B,A”，也有20种不同的排列方法.
因此，满足条件的排列有20+20=40(个).

《中国诗词大会》(第三季) 亮点颇多, 在“人生自有诗意”的主题下, 十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下, 百人齐声朗诵, 别有韵味. 若《沁园春·长沙》《蜀道难》《敕勒歌》《游子吟》《关山月》《清平乐·六盘山》排在后六场, 且《蜀道难》排在《游子吟》的前面, 《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后, 则后六场的排法有 144 种. (用数字作答).

答案： 144 先排除《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》之外的四首，有A₄⁴种方法，其中《蜀道难》排在《游子吟》前面有1/2A₄⁴种方法，而《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，有A₂¹A₄²种方法，所以后六场的排法有1/2A₄⁴×A₂¹A₄²=144(种).