《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例1. 已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点 $A(-1,0), B(1,0), C\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, 试判断 $\triangle ABC$ 的形状.
[分析] 先计算出三边的长, 再判断三角形的形状.

答案： 例1:$|AB|=\sqrt{[1-(-1)]^2+0^2}=2$,
$|BC|=\sqrt{(\frac{1}{2}-1)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}-0)^2}=1$,
$|AC|=\sqrt{[\frac{1}{2}-(-1)]^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}-0)^2}=\sqrt{3}$.
$\because |AC|^2+|BC|^2=|AB|^2$,
$\therefore \triangle ABC$为直角三角形.

两直线 $3ax-y-2=0$ 和 $(2a-1)x+5ay-1=0$ 分别过定点 $A,B$, 则 $|AB|$ 的值为 $\frac{13}{5}$.

答案： 对点训练1:$\frac{13}{5}$ 直线$3ax-y-2=0$过定点$A(0,-2)$,由直线$(2a-1)x+5ay-1=0$可得$a(2x+5y)-(x+1)=0$,
令$\begin{cases}2x+5y=0,\\x+1=0.\end{cases}$解得$\begin{cases}x=-1,\\y=\frac{2}{5}.\end{cases}$
故$B(-1,\frac{2}{5})$.
所以$|AB|=\sqrt{(0+1)^2+(-2-\frac{2}{5})^2}=\frac{13}{5}$.

例2. 求点 $P(3,-2)$ 到下列直线的距离:
(1) $3x-4y-1=0$; (2) $y=6$; (3) $y$ 轴.
[分析] 本题主要考查点到直线的距离公式的应用, 直接代入点到直线的距离公式即可.

答案： 例2:
(1)由点到直线的距离公式可得
$d=\frac{|3×3-4×(-2)-11|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{16}{5}$.
(2)由直线$y=6$与$x$轴平行,得
$d=|6-(-2)|=8$.
或将$y=6$变形为$0· x+y-6=0$,
$\therefore d=\frac{|0×3+(-2)-6|}{\sqrt{0^2+1^2}}=8$.
(3)$d=|3|=3$.