《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

1. 如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(A)


A.$\frac{4}{9}$
B.$\frac{2}{9}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{3}$

答案： 1 A 设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则$P(A) = \frac {2}{3}$，B表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则$P(B) = \frac {2}{3}$.故$P(AB) = P(A) · P(B) = \frac {2}{3} × \frac {2}{3} = \frac {4}{9}$.

2. 甲、乙两班各有$36$名同学，甲班有$9$名三好学生，乙班有$6$名三好学生，两班各派$1$名同学参加演讲比赛，派出的恰好都是三好学生的概率是(C)

A.$\frac{5}{24}$
B.$\frac{5}{12}$
C.$\frac{1}{24}$
D.$\frac{3}{8}$

答案： 2 C 两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则$P(AB) = P(A) · P(B) = \frac {9}{36} × \frac {6}{36} = \frac {1}{24}$.

3. 有$6$个相同的球，分别标有数字$1,2,3,4,5,6$，从中有放回地随机取两次，每次取$1$个球. 甲表示事件“第一次取出的球的数字是$1$”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是$2$”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是$8$”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是$7$”，则(B)

A.甲与丙相互独立
B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立
D.丙与丁相互独立

答案： 3 B 事件甲发生的概率$P(甲) = \frac {1}{6}$，事件乙发生的概率$P(乙)=\frac {1}{6}$，事件丙发生的概率$P(丙) = \frac {5}{6 × 6} = \frac {5}{36}$，事件丁发生的概率$P(丁) = \frac {6}{6 × 6} = \frac {1}{6}$.事件甲与事件丙同时发生的概率为$0$，$P(甲丙) \neq P(甲)P(丙)$，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为$\frac {1}{6 × 6} = \frac {1}{36}$，$P(甲丁) = P(甲)P(丁)$，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为$\frac {1}{6 × 6} = \frac {1}{36}$，$P(乙丙) \neq P(乙)P(丙)$，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误.选B.

4. 加工某零件需经过三道工序，每道工序均为正品时该零件才为正品. 设第一、二、三道工序的次品率分别为$\frac{1}{70},\frac{1}{69},\frac{1}{68}$，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的正品率为$\frac {67}{70}$.

答案： 4 $\frac {67}{70}$ 加工出来的零件的正品率为$(1 - \frac {1}{70}) × (1 - \frac {1}{69}) × (1 - \frac {1}{68}) = \frac {67}{70}$.

5. 在一段线路中并联着$3$个自动控制的常开开关，只要其中$1$个开关能够闭合，线路就能正常工作. 假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是$0.7$，计算在这段时间内线路正常工作的概率.

答案：
5 如图所示，分别记这段时间内开关$J_A$，$J_B$，$J_C$能够闭合为事件A，B，C.由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是$P(\overline{A}\overline{B}\overline{C}) = P(\overline{A})P(\overline{B})P(\overline{C})$
$=[1 - P(A)][1 - P(B)][1 - P(C)]$
$=(1 - 0.7)(1 - 0.7)(1 - 0.7) = 0.027$，
于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是$1 - P(\overline{A}\overline{B}\overline{C}) = 1 - 0.027 = 0.973$.

知识点1 全概率公式
设 $B_1,B_2,·s,B_n$ 为样本空间 $\Omega$ 的一个划分,若 $P(B_i)＞0(i=1,2,·s,n)$,则对任意一个事件 $A$ 有
$P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)$
称上式为全概率公式.
如果我们把 $B_i$ 看成导致事件 $A$ 发生的各种可能“原因”,那么,全概率公式告诉我们:事件 $A$ 发生的概率恰好是事件 $A$ 在这些“原因”下发生的条件概率的平均.

答案： 知识点1 全概率公式 平均