《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例3. 已知$A(-3,2)$，$B(5,-4)$，$C(0,-2)$，在$\triangle ABC$中，
(1)求$BC$边所在的直线方程；
(2)求$BC$边上的中线所在直线的方程.

答案： 例3:
(1)$BC$边过两点$B(5, -4)$，$C(0, -2)$，
由两点式，得$\frac{y - (-4)}{-2 - (-4)} = \frac{x - 5}{0 - 5}$，即$2x + 5y + 10 = 0$，
故$BC$边所在的直线方程为$2x + 5y + 10 = 0$.
(2)设$BC$的中点为$M(a, b)$，
则$a = \frac{5 + 0}{2} = \frac{5}{2}$，$b = \frac{-4 + (-2)}{2} = -3$.
所以$M(\frac{5}{2}, -3)$，
又$BC$边的中线过点$A(-3, 2)$.
所以$\frac{y - 2}{-3 - 2} = \frac{x - (-3)}{\frac{5}{2} - (-3)}$，即$10x + 11y + 8 = 0$.
所以$BC$边上的中线所在直线的方程为$10x + 11y + 8 = 0$.

(1)若直线$l$经过点$A(2,-1)$，$B(2,7)$，则直线$l$的方程为$x = 2$.

答案： 对点训练3:
(1)$x = 2$ 由于点$A$与点$B$的横坐标相等，所
以直线$l$方程没有两点式，所求的直线方程为$x = 2$.

(2)若点$P(3,m)$在过点$A(2,-1)$，$B(-3,4)$的直线上，则$m =$$-2$.

答案：
(2)$-2$ 由直线方程的两点式得，过$A$，$B$两点的直线方程
为$\frac{y + 1}{4 + 1} = \frac{x - 2}{-3 - 2}$，即$y = -x + 1$.
又因为点$P(3, m)$在直线$AB$上，所以$m = -3 + 1 = -2$.

例4. 已知点$A(3,0)$，$B(0,4)$，动点$P(x,y)$在线段$AB$上运动，求$xy$的最大值.

答案： 例4:由题意，得$l_{AB}:\frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1$，所以线段$AB$的方程为
$4x + 3y - 12 = 0(0 \leq x \leq 3)$.
所以$xy = x · (4 - \frac{4}{3}x)$
$= 4x - \frac{4}{3}x^2 = -\frac{4}{3}(x - \frac{3}{2})^2 + 3$.
所以当$x = \frac{3}{2}$时，$xy$取得最大值3.

对点训练4
在x,r轴上的截距分别是-3,4的直线方程是（）

A.4x+3y-12 =0
C.4x+3y-1=0
B.4x-3y+12=0
D.4x-3y+1=0

答案：
对点训练4:B 根据直线方程的截距式写出直线方程
,化简得4x-3y+12=0,故选B