《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

知识点2 两条直线垂直
1. 对于两条不重合的直线$l_1: y = k_1x + b_1, l_2: y = k_2x + b_2$，则$l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow $$k_1k_2=-1$$$.
2. 设直线$l_1, l_2$的方程分别为$A_1x + B_1y + C_1 = 0 (A_1, B_1$不全为$0)$，$A_2x + B_2y + C_2 = 0 (A_2, B_2$不全为$0)$，则$l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow $$A_1A_2+B_1B_2=0$$$.

答案： 1.$k_1k_2=-1$ 2.$A_1A_2+B_1B_2=0$

知识点3 两条直线的交点
1. 已知两条直线的方程是$l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0 (A_1, B_1$不全为$0)$, $l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0 (A_2, B_2$不全为$0)$，设这两条直线的交点为$P$，则点$P$既在直线$l_1$上，也在直线$l_2$上. 所以点$P$的坐标既满足直线$l_1$的方程$A_1x + B_1y + C_1 = 0$，也满足直线$l_2$的方程$A_2x + B_2y + C_2 = 0$，即点$P$的坐标就是方程组$\begin{cases}A_1x + B_1y + C_1 = 0, \\A_2x + B_2y + C_2 = 0\end{cases}$的解.
2.

名师点睛 如果两条直线相交，则交点坐标分别适合两条直线的方程，即交点坐标是两直线方程所组成方程组的解.

答案： 2.相交 重合 平行

例1 已知两直线$l_1: x + my + 6 = 0; l_2: (m - 2)x + 3y + 2m = 0$, 求$m$为何值时，直线$l_1$与$l_2$: (1)相交; (2)平行; (3)重合.

答案： 例1:
∵直线$l_1:x+my+6=0$，
直线$l_2:(m-2)x+3y+2m=0$，
$\therefore A_1=1,B_1=m,C_1=6,A_2=m-2,B_2=3,C_2=2m$.
(1)若$l_1$与$l_2$相交，则$A_1B_2-A_2B_1\neq0$，即$1×3-m(m-2)\neq0$，
即$m^2-2m-3\neq0$，
即$(m-3)(m+1)\neq0$，即$m\neq3$且$m\neq-1$.
故当$m\neq3$且$m\neq-1$时，直线$l_1$与$l_2$相交.
(2)若$l_1// l_2$，则有$\begin{cases}A_1B_2-A_2B_1=0,\\B_1C_2-B_2C_1\neq0,\end{cases}$
即$\begin{cases}3-m(m-2)=0,\\2m^2-18\neq0,\end{cases}$
即$\begin{cases}m=3或m=-1,\\m\neq3且m\neq-3,\end{cases}\therefore m=-1$.
故当$m=-1$时，直线$l_1$与$l_2$平行.
(3)若$l_1$与$l_2$重合，则有$\begin{cases}A_1B_2-A_2B_1=0,\\B_1C_2-B_2C_1=0,\end{cases}$
即$\begin{cases}3-m(m-2)=0,\\2m^2-18=0,\end{cases}\therefore\begin{cases}m=3或m=-1,\\m=3或m=-3,\end{cases}\therefore m=3$.
故当$m=3$时，直线$l_1$与$l_2$重合.

已知两直线$l_1: 9x - y + a + 2 = 0; l_2: ax + (a - 2)y + 1 = 0$. 求$a$为何值时，直线$l_1$与$l_2$: (1)相交; (2)平行; (3)重合.

答案： 对点训练1:由题意知$A_1=9,B_1=-1,C_1=a+2,A_2=a$，
$B_2=a-2,C_2=1$，
(1)若$l_1$与$l_2$相交，则$A_1B_2-A_2B_1\neq0$，
即$9(a-2)-a×(-1)\neq0,\therefore a\neq\frac{9}{5}$.
故当$a\neq\frac{9}{5}$时，直线$l_1$与$l_2$相交.
(2)若$l_1// l_2$，则有$\begin{cases}A_1B_2-A_2B_1=0,\\B_1C_2-B_2C_1\neq0,\end{cases}$
即$\begin{cases}9(a-2)-a×(-1)=0,\\-1-(a^2-4)\neq0,\end{cases}$
$\therefore\begin{cases}a=\frac{9}{5},\\a\neq\pm\sqrt{3}.\end{cases}$
$\therefore$当$a=\frac{9}{5}$时，$l_1$与$l_2$平行.
(3)若$l_1$与$l_2$重合，则有$\begin{cases}A_1B_2-A_2B_1=0,\\B_1C_2-B_2C_1=0,\end{cases}$
由
(2)知$\begin{cases}a=\frac{9}{5},\\a=\pm\sqrt{3},\end{cases}$不成立，
$\therefore$直线$l_1$与$l_2$不可能重合.
综上所述，当$a\neq\frac{9}{5}$时，两直线相交；当$a=\frac{9}{5}$时，两直线平行；不论$a$为何值两直线都不会重合.