《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例1. 在直三棱柱$ABO - A_1B_1O_1$中，$\angle AOB = \frac{\pi}{2}$，$AO = 4$，$BO = 2$，$AA_1 = 4$，$D$为$A_1B_1$的中点，建立适当的空间直角坐标系，求$\overrightarrow{DO}$，$\overrightarrow{A_1B}$的坐标.

答案：
例1：由已知AO⊥OB,O₁O⊥OA,O₁O⊥OB,从而建立以$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OO₁}$方向上的单位向量i,j,k为正交基的空间直角坐标系O - xyz，如图，
　　　　　　
则$\overrightarrow{OA}=4i,\overrightarrow{OB}=2j,\overrightarrow{OO₁}=4k$；
$\overrightarrow{DO}=-\overrightarrow{OD}=-(\overrightarrow{OO₁}+\overrightarrow{O₁D})=-[\overrightarrow{OO₁}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})]=-\overrightarrow{OO₁}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}=-2i - j - 4k$，
故$\overrightarrow{DO}$的坐标为(-2,-1,-4)。
$\overrightarrow{A₁B}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA₁}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{AA₁}=-4i + 2j - 4k$，
故$\overrightarrow{A₁B}$的坐标为(-4,2,-4)。
即$\overrightarrow{DO}=(-2,-1,-4),\overrightarrow{A₁B}=(-4,2,-4)$。

(1) 如图，在棱长为$2$的正方体$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，取$D$点为原点建立空间直角坐标系，$O$，$M$分别是$AC$，$DD_1$的中点，写出下列向量的坐标.
$\overrightarrow{AM} =$ (-2,0,1)，$\overrightarrow{OB_1} =$ (1,1,2).

答案： 对点训练1：
(1)(-2,0,1) (1,1,2)
∵A(2,0,0),M(0,1,0),O(1,1,0),B₁(2,2,2)，
∴$\overrightarrow{AM}=(0,0,1)-(2,0,0)=(-2,0,1),\overrightarrow{OB₁}=(1,1,2)$。

(2) 已知$PA$垂直于正方形$ABCD$所在的平面，$M$，$N$分别是$AB$，$PC$的中点，并且$PA = AD = 1$，建立空间直角坐标系，求向量$\overrightarrow{MN}$的坐标.

答案：

(2)以AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图所示，
　　　　　　
则M(0,$\frac{1}{2}$,0),N($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$)，
∴$\overrightarrow{MN}=(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2})$。