《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例 4 如图所示，在正方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中，$ O $ 为底面 $ ABCD $ 的中心，$ P $ 是 $ DD_1 $ 的中点，设 $ Q $ 是 $ CC_1 $ 上的点，问：当点 $ Q $ 在什么位置时，平面 $ D_1BQ // $ 平面 $ PAO $.

答案：
例4:如图所示，分别以$DA,DC,DD_1$所在直线为$x$轴，$y$轴，$z$轴，建立空间直角坐标系$D - xyz$，在$CC_1$上任取一点$Q$，连接$BQ,D_1Q$。

设正方体的棱长为$1$，则$O(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0),P(0,0,\frac{1}{2}),A(1,0,0),B(1,1,0),D_1(0,0,1),Q(0,1,z)$，
则$\overrightarrow{OP}=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，
$\overrightarrow{BD_1}=(-1,-1,1)$，所以$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD_1}$，
所以$\overrightarrow{OP}//\overrightarrow{BD_1}$，即$OP//BD_1$。
$\overrightarrow{AP}=(-1,0,\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{BQ}=(-1,0,z)$，
当$z = \frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{BQ}$，
即$AP//BQ$，又$AP \cap OP = P$，$BQ \cap BD_1 = B$，
则有平面$PAO//$平面$D_1BQ$，
所以当$Q$为$CC_1$的中点时，平面$D_1BQ//$平面$PAO$。

例 5 如图所示，在直三棱柱 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 中，$ AB \perp BC $，$ AB = BC = 2 $，$ BB_1 = 1 $，$ E $ 为 $ BB_1 $ 的中点，证明：平面 $ AEC_1 \perp $ 平面 $ AA_1C_1C $.

答案：
例5:证明:由题意得$AB,BC,B_1B$两两垂直，以$B$为原点，$BA,BC,B_1B$所在直线分别为$x,y,z$轴，建立如图所示的空间直角坐标系。

则$A(2,0,0),A_1(2,0,1),C(0,2,0),C_1(0,2,1),E(0,0,\frac{1}{2})$，
则$\overrightarrow{AA_1}=(0,0,1),\overrightarrow{AC}=(-2,2,0),\overrightarrow{AC_1}=(-2,2,1),\overrightarrow{AE}=(-2,0,\frac{1}{2})$。
设平面$AA_1C_1C$的一个法向量为$\mathbf{n_1}=(x_1,y_1,z_1)$。
则$\begin{cases} \mathbf{n_1} · \overrightarrow{AA_1}=0 \\ \mathbf{n_1} · \overrightarrow{AC}=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} z_1 = 0 \\ -2x_1 + 2y_1 = 0 \end{cases}$
令$x_1 = 1$，得$y_1 = 1$。所以$\mathbf{n_1}=(1,1,0)$。
设平面$AEC_1$的一个法向量为$\mathbf{n_2}=(x_2,y_2,z_2)$。则$\begin{cases} \mathbf{n_2} · \overrightarrow{AC_1}=0 \\ \mathbf{n_2} · \overrightarrow{AE}=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} -2x_2 + 2y_2 + z_2 = 0 \\ -2x_2 + \frac{1}{2}z_2 = 0 \end{cases}$
令$z_2 = 4$，得$x_2 = 1$，$y_2 = -1$。所以$\mathbf{n_2}=(1,-1,4)$。
因为$\mathbf{n_1} · \mathbf{n_2}=1 × 1 + 1 × (-1) + 0 × 4 = 0$。所以$\mathbf{n_1} \bot \mathbf{n_2}$，
所以平面$AEC_1 \bot$平面$AA_1C_1C$。

在四棱锥 $ S - ABCD $ 中，底面 $ ABCD $ 是正方形，$ AS \perp $ 底面 $ ABCD $，且 $ AS = AB $，$ E $ 是 $ SC $ 的中点. 求证：平面 $ BDE \perp $ 平面 $ ABCD $.

答案：
对点训练3:证明:设$AS = AB = 1$，建立如图所示的空间直角坐标系，

则$B(1,0,0),D(0,1,0),A(0,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1),E(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。
证法一:连接$AC$，交$BD$于点$O$，连接$OE$，则点$O$的坐标为$(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$。
易知$\overrightarrow{AS}=(0,0,1),\overrightarrow{OE}=(0,0,\frac{1}{2})$，
所以$\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AS}$，所以$OE//AS$。
又$AS \bot$底面$ABCD$，
所以$OE \bot$平面$ABCD$。又$OE \subset$平面$BDE$，所以平面$BDE \bot$平面$ABCD$。
证法二:设平面$BDE$的一个法向量为$\mathbf{n_1}=(x,y,z)$。易知$\overrightarrow{BD}=(-1,1,0),\overrightarrow{BE}=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，
所以$\begin{cases} \mathbf{n_1} \bot \overrightarrow{BD} \\ \mathbf{n_1} \bot \overrightarrow{BE} \end{cases}$，即$\begin{cases} \mathbf{n_1} · \overrightarrow{BD}=-x + y = 0 \\ \mathbf{n_1} · \overrightarrow{BE}=-\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y + \frac{1}{2}z = 0 \end{cases}$
令$x = 1$可得平面$BDE$的一个法向量为$\mathbf{n_1}=(1,1,0)$。
因为$AS \bot$底面$ABCD$，所以设平面$ABCD$的一个法向量为$\mathbf{n_2}=\overrightarrow{AS}=(0,0,1)$。
因为$\mathbf{n_1} · \mathbf{n_2}=0$，所以平面$BDE \bot$平面$ABCD$。

例 6 已知 $ A(1,0,0) $，$ B(0,1,1) $，$ C(1,1,0) $，$ D(1,2,0) $，$ E(0,0,1) $，则直线 $ DE $ 与平面 $ ABC $(B)
A. 平行
B. $ DE \subset $ 平面 $ ABC $
C. 相交
D. 平行或 $ DE \subset $ 平面 $ ABC $
[错解] 易知 $ \overrightarrow{DE} = (-1, -2, 1) $，$ \overrightarrow{AB} = (-1, 1, 1) $，$ \overrightarrow{BC} = (1, 0, -1) $. 设平面 $ ABC $ 的一个法向量 $ \boldsymbol{n} = (x, y, 1) $，易求 $ \boldsymbol{n} = (1, 0, 1) $，则 $ \overrightarrow{DE} · \boldsymbol{n} = 0 $，$ \therefore DE // $ 平面 $ ABC $，故选 A.
[辨析] 错解没有进一步分析直线 $ DE $ 与平面 $ ABC $ 的关系，当 $ \overrightarrow{DE} \perp \boldsymbol{n} $ 时，$ DE $ 与平面 $ ABC $ 不一定平行，还有可能在平面内，到底是哪种情形，需经进一步分析方可获知.
[正解]

答案： 例6:B 由错解得$DE \bot n$，
则$DE//$平面$ABC$或$DEC \subset$平面$ABC$。
$\because \overrightarrow{BD}=(1,1,-1)$，$\therefore \overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AB}$，所以$A,B,C,D$四点共面，即点$D$在平面$ABC$内，所以$DEC \subset$平面$ABC$，故选B。