《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

例 5. 已知曲线 $C$ 的方程为 $2x^2 - y^2 = 2$，问过点 $P(1, 1)$ 能否作直线 $l$，使直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且点 $P$ 为弦 $AB$ 的中点？这样的直线 $l$ 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。
[错解] 设存在这样的直线 $l, A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$，
$\therefore x_1 + x_2 = 2, y_1 + y_2 = 2$，
$\because 2x_1^2 - y_1^2 = 2, 2x_2^2 - y_2^2 = 2, \therefore 2(x_1 + x_2) · (x_1 - x_2) - (y_1 + y_2)(y_1 - y_2) = 0$，
$\therefore 4(x_1 - x_2) - 2(y_1 - y_2) = 0$，即 $\frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2} = 2$，
$\therefore$ 直线 $l$ 的方程为 $y = 2x - 1$。
[辨析] 在求解本题时，有些学生容易在求出 $y = 2x - 1$ 之后就得出结论：存在这样的直线 $l$。事实上，这是错误的，因为直线 $y = 2x - 1$ 与曲线 $2x^2 - y^2 = 2$ 不存在交点。
[正解]

答案： 设存在这样的直线$l$，$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，则$x_{1} + x_{2} = 2$，$y_{1} + y_{2} = 2$.
$\because 2x_{1}^{2} - y_{1}^{2} = 2$，$2x_{2}^{2} - y_{2}^{2} = 2$，
$\therefore 2(x_{1} + x_{2})(x_{1} - x_{2}) - (y_{1} + y_{2})(y_{1} - y_{2}) = 0$，
$\therefore 4(x_{1} - x_{2}) - 2(y_{1} - y_{2}) = 0$，即$\frac{y_{1} - y_{2}}{x_{1} - x_{2}} = 2$，
$\therefore$直线$l$的方程为$y = 2x - 1$.
方程组$\begin{cases}y = 2x - 1,\\2x^{2} - y^{2} = 2\end{cases}$无解，故不存在这样的直线$l$.

1. 已知直线 $l$ 与抛物线 $x^2 = 2py (p ＞ 0)$ 只有一个公共点，则直线 $l$ 与抛物线的位置关系是 (D)

A.相交
B.相切
C.相离
D.相交或相切

答案： 直线$l$与抛物线的对称轴平行或$l$与抛物线相切时有一个公共点，所以D选项正确.

2. 已知椭圆 $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a ＞ b ＞ 0)$ 的右焦点为 $F(3, 0)$，过点 $F$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A, B$ 两点，若 $AB$ 的中点坐标为 $(1, -1)$，则 $E$ 的方程为 (D)

A.$\frac{x^2}{45} + \frac{y^2}{36} = 1$
B.$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{27} = 1$
C.$\frac{x^2}{27} + \frac{y^2}{18} = 1$
D.$\frac{x^2}{18} + \frac{y^2}{9} = 1$

答案： 设$A(x_{1},y_{1})$，$B(x_{2},y_{2})$，直线$AB$的斜率$k = \frac{1 - 0}{1 - 3} = - \frac{1}{2}$，
易知$\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{1}^{2}}{b^{2}} = 1$，$\frac{x_{2}^{2}}{a^{2}} + \frac{y_{2}^{2}}{b^{2}} = 1$，
两式相减得$\frac{(x_{1} + x_{2})(x_{1} - x_{2})}{a^{2}} + \frac{(y_{1} + y_{2})(y_{1} - y_{2})}{b^{2}} = 0$，即$\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} × \frac{1}{2} × ( - 2) = 0$，
所以$a^{2} = 2b^{2}$，又$c^{2} = 9$，$a^{2} = b^{2} + c^{2}$，所以$a^{2} = 18$，$b^{2} = 9$，则椭圆$E$的方程为$\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1$.

3. 经过双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a ＞ 0, b ＞ 0)$ 的右焦点，倾斜角为 $60°$ 的直线与双曲线有且只有一个交点，则该双曲线的离心率为 2。

答案： 2

4. 抛物线 $x^2 = -y$ 上的点到直线 $4x + 3y - 8 = 0$ 的距离的最小值为 $\frac{4}{3}$。

答案： 设直线$4x + 3y + c = 0$与抛物线相切，由$\begin{cases}4x + 3y + c = 0,\\x^{2} = - y,\end{cases}$得$3x^{2} - 4x - c = 0$，由$\Delta = 16 + 12c = 0$，得$c = - \frac{4}{3}$，
所以两平行线的距离为$\frac{\vert - 8 + \frac{4}{3}\vert}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{4}{3}$.

5. 如图，椭圆 $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$，一条直线 $l$ 经过 $F_1$ 且与椭圆相交于 $A, B$ 两点。
(1) 求 $\triangle ABF_2$ 的周长；
(2) 若 $l$ 的倾斜角是 $45°$，求 $\triangle ABF_2$ 的面积。

答案：

(1)由$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$，知$a = 4$，$\triangle ABF_{2}$的周长为$(\vert AF_{1}\vert + \vert AF_{2}\vert) + (\vert BF_{1}\vert + \vert BF_{2}\vert) = 2a + 2a = 4a = 16$.
(2)由椭圆方程$\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1$，可得$F_{1}( - 3,0)$，$F_{2}(3,0)$，又$l$的倾斜角是$45^{\circ}$，故斜率$k = 1$，$\therefore l$的方程为$y = x + 3$. 将直线方程代入椭圆方程，整理得$23x^{2} + 96x + 32 = 0$，$\therefore x_{1} + x_{2} = - \frac{96}{23}$，$x_{1}x_{2} = \frac{32}{23}$，$\vert AB\vert = \sqrt{(1 + 1) × [(\frac{-96}{23})^{2} - 4 × \frac{32}{23}]} = \frac{112}{23}$.
设点$F_{2}$到直线$l$的距离为$d$，则$d = \frac{\vert 3 - 0 + 3\vert}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
$\therefore S_{\triangle ABF_{2}} = \frac{1}{2}\vert AB\vert · d = \frac{1}{2} × \frac{112}{23} × 3\sqrt{2} = \frac{168\sqrt{2}}{23}$.