《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

(1)5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有

A.$ A_{8}^{5}$种
B.$ C_{9}^{5}$种
C.$5^{8}$种
D.$8^{5}$种

答案：
(1)A 由于球不相同,盒子不同,每个盒里至多放一个球,所以取出5个盒子放不同的球,共有$ A_{5}^{5}$种不同的放法.

(2)5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有

A.$ A_{8}^{5}$种
B.$ C_{8}^{5}$种
C.$5^{8}$种
D.$8^{5}$种

答案：
(2)B 由于球都相同,盒子不同,每个盒里至多放一个球,所以只要选出5个不同的盒子即可.故共有$ C_{8}^{5}$种不同的放法.

(3)5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里放球数量不限，则不同的放法有

A.$ A_{8}^{5}$种
B.$ C_{8}^{5}$种
C.$5^{8}$种
D.$8^{5}$种

答案：
(3)D 由于每个盒里放球数量不限,所以第1个球有8种放法,第2个球有8种放法,$·s$,第5个球也有8种放法.故不同的放法共有$8 × 8 × 8 × 8 × 8 = 8^{5}$(种).

例2. (1)从5名男生和4名女生中选出3名学生参加某次会议，则至少有1名女生参加的情况有74种.
(2)学校邀请了4位学生的父母共8人，并请这8位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中至多有一对夫妻，那么不同的选择方法有64种.
[分析] (1)选出的3人中至少有1名女生，有三种情况：①2名男生和1名女生；②1名男生和2名女生；③3名女生. 也可用间接法，用总的选法数减去全部是男生的选法数.(2)应分类考虑，第一类，4位作介绍的家长中没有任何两个人是夫妻. 第二类，4位作介绍的家长中仅有一对夫妻. 在每一类中应分两步：第一步，先确定家长来自哪个家庭，第二步，在选出的家庭中确定具体的人来介绍子女的教育情况. 也可以采用间接法，用总的选法数减去4位家长有2对夫妻的选法数. ▶[规律方法]

答案： 例2:
(1)74 解法一(直接法),第一类,从5名男生中选出2名男生,从4名女生中选出1名女生,有$ C_{5}^{2} C_{4}^{1}=40$(种)选法;
第二类,从5名男生中选出1名男生,从4名女生中选出2名女生,有$ C_{5}^{1} C_{4}^{2}=30$(种)选法;第三类,从4名女生中选出3名女生,有$ C_{4}^{3}=4$(种)选法.
根据分类加法计数原理知,共有74种选法.
解法二(间接法):从所有的9名学生中选出3名,有$ C_{9}^{3}$种选法,其中全为男生的有$ C_{5}^{3}$种选法.
所以选出3名学生,至少有1名女生的选法有$ C_{9}^{3}- C_{5}^{3}=74$(种).
(2)64 解法一(直接法):4位作介绍的家长可分两类.
第一类,4位作介绍的家长中任何两个人都不是夫妻,即4位作介绍的家长来自4个家庭,每个家庭是父亲作介绍还是母亲作介绍都有两种情况,所以其选择方法有$2^{4}=16$(种);
第二类,4位作介绍的家长中仅有一对夫妻,即4位作介绍的家长中有2位为一个家庭的父亲和母亲,其选法有$ C_{4}^{1}$种,另2位家长从另三个家庭中的两个家庭中选,其选法有$ C_{3}^{2}$种,并且被选中的家庭是父亲作介绍还是母亲作介绍都有两种情况,其选法有$2^{2}$种.根据分步乘法计数原理知,作介绍的家长的选法有$ C_{4}^{1} · C_{3}^{2} × 2^{2}=48$(种).
根据分类加法计数原理知,满足题意的选法有$16 + 48 = 64$(种).
解法二(间接法):从8位家长中选出4位家长有$ C_{8}^{4}$种选法,其中这四位家长仅来自2个家庭不符合条件,其选法有$ C_{4}^{2}$种,所以满足题意的选法有$ C_{8}^{4}- C_{4}^{2}=64$(种).

某校有男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)恰有1名女运动员；
(3)至少有1名女运动员；
(4)队长中至少有1人参加；
(5)既要有队长，又要有女运动员.

答案： 对点训练2:
(1)需分两步完成:
第一步 选3名男运动员,有$ C_{6}^{3}$种选法;
第二步 选2名女运动员,有$ C_{4}^{2}$种选法.
故选法共有$ C_{6}^{3} C_{4}^{2}=120$(种).
(2)需分两步完成:
第一步 选1名女运动员,有$ C_{4}^{1}$种选法;
第二步 选4名男运动员,有$ C_{6}^{4}$种选法.
故选法共有$ C_{4}^{1} C_{6}^{4}=60$(种).
(3)解法一(直接法) 至少有1名女运动员包括以下四种情况:
1女4男,2女3男,3女2男,4女1男.由分类加法计数原理知选法共有$ C_{4}^{1} C_{6}^{4} + C_{4}^{2} C_{6}^{3} + C_{4}^{3} C_{6}^{2} + C_{4}^{4} C_{6}^{1}=246$(种).
解法二(间接法) 不考虑条件,从10人中任选5人,有$ C_{10}^{5}$种选法,其中全是男运动员的选法有$ C_{6}^{5}$种.故至少有1名女运动员的选法有$ C_{10}^{5}- C_{6}^{5}=246$(种).
(4)需分三类完成;
第一类 “只有男队长”的选法为$ C_{6}^{4}$种;
第二类 “只有女队长”的选法为$ C_{6}^{4}$种;
第三类 “男、女队长都入选”的选法为$ C_{6}^{3}$种;
故队长中至少有1人参加的选法共有$2 C_{6}^{4} + C_{6}^{3}=196$(种).
(5)当有女队长时,其他人的选法任意,共有$ C_{9}^{4}$种选法;当不选女队长时,必选男队长,共有$ C_{5}^{4}$种选法,其中不含女运动员的选法有$ C_{4}^{4}$种,故不选女队长时共有$( C_{5}^{4}- C_{4}^{4})$种选法.
所以既有队长又有女运动员的选法共有$ C_{9}^{4} + C_{5}^{4}- C_{4}^{4}=191$(种).