《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

(1) 求点 $P(-1,2)$ 到直线 $2x+y-5=0$ 的距离;

答案：
(1)由点到直线距离公式$d=\sqrt{5}$.

(2) 点 $A(a,6)$ 到直线 $3x-4y=2$ 距离等于4, 求 $a$ 的值;

答案：
(2)由点到直线的距离公式$\frac{|3a-4×6-2|}{\sqrt{3^2+4^2}}=4$,
$\therefore a=2$或$\frac{46}{3}$.

(3) 求过点 $A(-1,2)$ 且与原点距离等于 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的直线方程.

答案：
(3)设所求直线$l:y-2=k(x+1)$,原点$O(0,0)$到此直线距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$,可求得$k=-1$或$-7$,
$\therefore$所求直线方程为$x+y-1=0$或$7x+y+5=0$.

例3. 求两平行线 $l_1:3x+4y=10$ 和 $l_2:3x+4y=15$ 的距离.
[分析] 由题目可获取以下主要信息:
① 直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的方程已知;
② $l_1$ 与 $l_2$ 平行.
解答本题可转化为点到直线的距离或直接利用两平行线间的距离公式或利用原点到两平行线距离的差, 从而求解.

答案：
例3:解法一:若在直线$l_1$上任取一点$A(2,1)$,则点$A$到直线$l_2$的距离,即是所求的平行线间的距离.如图①所示,

$\therefore d=\frac{|3×2+4×1-15|}{\sqrt{3^2+4^2}}=1$.
解法二:设原点到直线$l_1$、$l_2$的距离分别为$|OF|$、$|OE|$,

则由图②可知,$|OE|-|OF|$即为所求.
$\therefore |OE|-|OF|=\frac{|-15|}{\sqrt{3^2+4^2}}-\frac{|-10|}{\sqrt{3^2+4^2}}=1$,即两平行线间的距离为$1$.
解法三:直线$l_1$、$l_2$的方程可化为$3x+4y-10=0,3x+4y-15=0$,
则两平行线间的距离为
$d=\frac{|-10-(-15)|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{5}{5}=1$.

直线 $2x+3y+1=0$ 与 $4x+my+7=0$ 平行, 则它们之间的距离为 (C)

A.4
B.$\frac{2\sqrt{13}}{13}$
C.$\frac{5\sqrt{13}}{26}$
D.$\frac{7\sqrt{10}}{20}$

答案： 对点训练3:$C$ 由题意得$m=6$,$\therefore$直线$4x+my+7=0$化为$2x+3y+\frac{7}{2}=0$,故两平行直线之间的距离为$\frac{|7-\frac{7}{2}|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{5\sqrt{13}}{26}$.

例4. 在直线 $l:3x-y-1=0$ 上求一点 $P$, 使得点 $P$ 到 $A(4,1)$ 和 $B(0,4)$ 的距离之差最大.

答案：
例4:如图所示,点$A,B$在直线$l$两侧,
设点$B$关于直线$l$的对称点$B'$的坐标为$(a,b)$,则$k_{BB'}· k_1=-1$,即$3·\frac{b-4}{a}=-1$.
所以$a+3b-12=0$. ①
又由于线段$BB'$的中点坐标为$(\frac{a}{2},\frac{b+4}{2})$,且在直线$l$上,所以$3×\frac{a}{2}+\frac{b+4}{2}-1=0$,即$3a-b-6=0$, ②

解①②得$a=3,b=3$,所以$B'(3,3)$,
于是$AB'$所在直线的方程为$\frac{y-1}{3-1}=\frac{x-4}{3-4}$,即$2x+y-9=0$.
由$\begin{cases}3x-y-1=0,\\2x+y-9=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2,\\y=5.\end{cases}$
即直线$l$与直线$AB'$的交点坐标为$(2,5)$.
该交点即为点$P$,此时$|PA|$与$|PB|$差值最大,所以点$P(2,5)$为所求.