《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

1. 圆$x^{2}+y^{2}-4x + 2y = 0$的圆心和半径分别为 (A)

A.$(2,-1),\sqrt{5}$
B.$(2,-1),5$
C.$(-2,1),\sqrt{5}$
D.$(-2,1),5$

答案： 1 A 圆$x^{2}+y^{2}-4x + 2y=0$化为标准方程为$(x - 2)^{2}+(y + 1)^{2}=5$，故选A。

2. 以$(1,1)$和$(2,-2)$为一条直径的两个端点的圆的方程为 (C)

A.$x^{2}+y^{2}+3x - y = 0$
B.$x^{2}+y^{2}-3x + y-\frac{5}{2}=0$
C.$x^{2}+y^{2}-3x + y = 0$
D.$x^{2}+y^{2}-3x - y-\frac{5}{2}=0$

答案： 2 C 圆心坐标为$(\frac{3}{2},-\frac{1}{2})$，半径$r=\frac{\sqrt{10}}{2}$，故所求圆的方程为$(x-\frac{3}{2})^{2}+(y+\frac{1}{2})^{2}=\frac{5}{2}$，即$x^{2}+y^{2}-3x + y=0$。

3. 圆$x^{2}+y^{2}-2y - 1 = 0$关于直线$y = x$对称的圆的方程是 (A)

A.$(x - 1)^{2}+y^{2}=2$
B.$(x + 1)^{2}+y^{2}=2$
C.$(x - 1)^{2}+y^{2}=4$
D.$(x + 1)^{2}+y^{2}=4$

答案： 3 A 圆$x^{2}+y^{2}-2y - 1=0$的圆心坐标为$(0,1)$，半径$r=\sqrt{2}$，圆心$(0,1)$关于直线$y = x$对称的点的坐标为$(1,0)$，故所求圆的方程为$(x - 1)^{2}+y^{2}=2$。

4. 若圆$x^{2}+y^{2}-2x + 4y + m = 0$与$x$轴相切，则$m$的值为1.

答案： 4 1 $\because$方程$x^{2}+y^{2}-2x + 4y + m=0$表示圆，
$\therefore(-2)^{2}+4^{2}-4m＞0$，
$\therefore m＜5$。
又$\because$圆与x轴相切，$\therefore\frac{\sqrt{(-2)^{2}+4^{2}-4m}}{2}=2$，
$\therefore m = 1$。