《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

设 $ O $ 为 $ □ ABCD $ 所在平面外任意一点，$ E $ 为 $ OC $ 的中点，若 $ \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} + x\overrightarrow{OB} + y\overrightarrow{OA} $，求 $ x,y $ 的值。

答案： $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE}$
$= \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$
$= - \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OC} = - \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{OD} + \overrightarrow{DC})$
$= - \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
$= - \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA})$
$= - \frac{3}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$,
$\therefore x = - \frac{3}{2},y = \frac{1}{2}$.

例 4. 如图所示，已知空间四边形 $ OABC $，其对角线为 $ OB,AC $，$ M,N $ 分别为 $ OA,BC $ 的中点，点 $ G $ 在线段 $ MN $ 上，且 $ \overrightarrow{MG} = 2\overrightarrow{GN} $，若 $ \overrightarrow{OG} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB} + z\overrightarrow{OC} $，则 $ x,y,z $ 的值分别为$\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{3}$。

[错解] 因为 $ M $ 为 $ OA $ 的中点，所以 $ \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} $。
因为 $ \overrightarrow{MG} = 2\overrightarrow{GN} $，所以 $ \overrightarrow{MG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{MN} $，
所以 $ \overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MG} = \overrightarrow{OM} + \frac{2}{3}\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{OM} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM}) = \frac{1}{3}\overrightarrow{OM} + \frac{2}{3}\overrightarrow{ON} $
$ = \frac{1}{3} × \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) = \frac{1}{6}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{OC} $。
所以 $ x,y,z $ 的值分别为 $ \frac{1}{6},\frac{2}{3},\frac{2}{3} $。
[辨析] 错误的根本原因是空间向量的数乘运算与加法运算的几何意义综合应用不当。实际上，本题中由 $ N $ 是 $ BC $ 的中点知 $ \overrightarrow{ON} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}) $。
[正解]

答案： $\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{3} \because M$为$OA$中点,$\therefore \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$.
$\because \overrightarrow{MG} = 2\overrightarrow{GN},\therefore \overrightarrow{MG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{MN}$,
$\therefore \overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{MG} = \overrightarrow{OM} + \frac{2}{3}\overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{OM} + \frac{2}{3}\overrightarrow{ON}$
$= \frac{1}{3} · \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{3} · \frac{1}{2}(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$
$= \frac{1}{6}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$,
$\therefore x,y,z$的值分别为$\frac{1}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{3}$

1. 设 $ p:\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} $ 是三个非零向量；$ q:\{ \boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c} \} $ 为空间的一组基，则 $ p $ 是 $ q $ 的(B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1.B 当非零向量$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$不共面时,$|\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}|$可以作为空间的一组基,否则不能作为基. 当$|\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}|$为基时,一定有$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$为非零向量. 因此$p$是$q$的必要不充分条件.

2. 在平行六面体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中，$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA_1} $ 的运算结果是(B)

A.$ \overrightarrow{A_1C} $
B.$ \overrightarrow{AC_1} $
C.$ \overrightarrow{BD_1} $
D.$ \overrightarrow{B_1D} $

答案： 2.B $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA^{\prime}} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA^{\prime}} = \overrightarrow{AC_{1}}$.

3. 如图，$ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 是平行六面体，则下列错误的一个命题是(A)


A.存在唯一的实数对 $ x,y $，使得 $ \overrightarrow{AC_1} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AD} $
B.存在唯一的实数对 $ x,y $，使得 $ \overrightarrow{AC} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AD} $
C.存在唯一的有序实数组 $ x,y,z $，使得 $ \overrightarrow{AC_1} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AD} + z\overrightarrow{AA_1} $
D.存在唯一的有序实数组 $ x,y,z $，使得 $ \overrightarrow{AC} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AD} + z\overrightarrow{AA_1} $

答案： 3.A 若选项A中命题为真,则可得到$\overrightarrow{AC_{1}},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$共面. 而由图可知$\overrightarrow{AC_{1}},\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}$不共面.