《2025年成才之路高中新课程学习指导高中数学选择性必修第一册北师大版》

集合 $A=\{1,2,3,4,5,6\}$,甲、乙两人各从 $A$ 中任取一个数,若甲先取(不放回),乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率.

答案： 对点训练2：将甲抽到数字 $a$，乙抽到数字 $b$，记作 $(a, b)$，甲抽到奇数的情形有 $(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),$
$(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,$
$6)$，共15个样本点，在这15个样本点中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有 $(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),(3,5),$
$(3,6),(5,6)$，共9个，所以所求概率 $P=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$。

例3. 一张储蓄卡的密码共有 6 位数字,每位数字都可从 0~9 中任选一个.某人在银行自动提款机上取钱时,忘了密码的最后一位数字.求:
(1) 任意按最后一位数字,不超过 2 次就按对的概率;
(2) 如果他记得密码的最后一位是偶数,不超过 2 次就按对的概率.
[分析] (1) 不超过 2 次,即第 1 次按对或第 1 次未按对第 2 次按对;
(2) 条件概率,利用互斥事件的条件概率公式求解.

答案： 例3：设第 $i$ 次按对密码为事件 $A_i (i=1,2)$，则 $A=A_1 \cup (A_1^c A_2)$ 表示不超过2次按对密码。
(1)因为事件 $A_1$ 与事件 $A_1^c A_2$ 互斥，由概率的加法公式得
$P(A)=P(A_1)+P(A_1^c A_2)=\frac{1}{10}+\frac{9 × 1}{10 × 9}=\frac{1}{5}$
(2)用 $B$ 表示最后一位按偶数的事件，则 $P(A|B)=P(A_1|B)+P((A_1^c A_2)|B)=\frac{1}{5}+\frac{4 × 1}{5 × 4}=\frac{2}{5}$

在一个袋子中装有 10 个球,设有 1 个红球,2 个黄球,3 个黑球,4 个白球,从中依次摸 2 个球,求在第一个球是红球的条件下,第二个球是黄球或黑球的概率.

答案： 对点训练3：设“摸出第一个球为红球”为事件 $A$, “摸出第二个球为黄球”为事件 $B$, “摸出第二个球为黑球”为事件 $C$。
则 $P(A)=\frac{1}{10}, P(AB)=\frac{1 × 2}{10 × 9}=\frac{1}{45}$，
$P(AC)=\frac{1 × 3}{10 × 9}=\frac{1}{30}$。所以 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{45}}{\frac{1}{10}}=$
$\frac{2}{9}, P(C|A)=\frac{P(AC)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{30}}{\frac{1}{10}}=\frac{1}{3}$
所以 $P(B \cup C|A)=P(B|A)+P(C|A)=\frac{2}{9}+\frac{1}{3}=\frac{5}{9}$。
所以所求的条件概率为 $\frac{5}{9}$。